Springen naar inhoud

Continu´teit v. functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

hir

    hir


  • >100 berichten
  • 114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 02:23

Weet iemand hoe je dit doet of wat er fout is aan mijn redenering ,bij volgende opgave? :

Toon aan dat f voor geen enkele waarde van a element v R continu is in (0,0)

f: R▓->R:(x,y)-> xy/(x▓+y▓) als (x,y)/=(0,0) of a als (x,y) =(0,0)



Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2

Neem bv de rij Xk= (1/k,1/k) => lim Xk=(0,0) ( Xk /= (0,0) voor alle k element vd natuurlijke getallen)

Lim f(Xk) = ( (1/k)▓/ ( (1/k)▓+(1/k)▓) = 1/2 = f(0,0)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 06:54

Probeer eens met poolco÷rdinaten:x=rcos ;) ,y=rsin ;) ;x▓+y▓=r▓.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 07:01

Om continu te zijn in punt p, moet f(x,y) willekeurig dichtbij f(p) liggen overal in een gebiedje om p heen (formeel: als f:;)▓→;) continu is te p moet er voor iedere ε>0 een δ>0 bestaan zodat |f(q)-f(p)|<ε zodra ||q-p||<δ ).

Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.

Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 07:06

Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2

Stel dat je (0,0) benadert over de lijn y=x dan lijkt jouw a=1/2 een mogelijkheid. Benader nu (0,0) eens over de lijn y=2*x. Is a=1/2 nu nog steeds een mogelijkheid? (Dit zou wel moeten als de functie continue is in (0,0).)

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 09:09

Blijkbaar heb je een eigenschap gezien op basis van rijtjes; bovenstaande suggesties werken dan ook: neem bv. het rijtje (1/k,-1/k) of (1/k,2/k).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

hir

    hir


  • >100 berichten
  • 114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 00:39

Om continu te zijn in punt p, moet f(x,y) willekeurig dichtbij f(p) liggen overal in een gebiedje om p heen (formeel: als f:;)▓→;) continu is te p moet er voor iedere ε>0 een δ>0 bestaan zodat |f(q)-f(p)|<ε zodra ||q-p||<δ ).

Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.

Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?


Als x=-y dan is f(x,y)= -1/2 voor (x,y)/=0 , maar als je hier dan a=-1/2 is de functie dan ook niet continu voor alle (x,y)?

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 06:56

Om continu te kunnen zijn op de lijn x=y moet gelden dat a = 1/2.
Om continu te kunnen zijn op de lijn x=-y moet gelden dat a = -1/2.
Dat zijn twee tegenstrijdige voorwaarden. Ze kunnen niet beide gelden. De functie kan dus niet continu zijn...

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 08:19

Als x=-y dan is f(x,y)= -1/2 voor (x,y)/=0 , maar als je hier dan a=-1/2 is de functie dan ook niet continu voor alle (x,y)?

Hoezo "hier"? Het gaat over de functiewaarde (die je wil definiŰren) in hetzelfde punt (0,0)...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures