Continuïteit v. functie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 114
Continu
Weet iemand hoe je dit doet of wat er fout is aan mijn redenering ,bij volgende opgave? :
Toon aan dat f voor geen enkele waarde van a element v R continu is in (0,0)
f: R²->R:(x,y)-> xy/(x²+y²) als (x,y)/=(0,0) of a als (x,y) =(0,0)
Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2
Neem bv de rij Xk= (1/k,1/k) => lim Xk=(0,0) ( Xk /= (0,0) voor alle k element vd natuurlijke getallen)
Lim f(Xk) = ( (1/k)²/ ( (1/k)²+(1/k)²) = 1/2 = f(0,0)
Toon aan dat f voor geen enkele waarde van a element v R continu is in (0,0)
f: R²->R:(x,y)-> xy/(x²+y²) als (x,y)/=(0,0) of a als (x,y) =(0,0)
Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2
Neem bv de rij Xk= (1/k,1/k) => lim Xk=(0,0) ( Xk /= (0,0) voor alle k element vd natuurlijke getallen)
Lim f(Xk) = ( (1/k)²/ ( (1/k)²+(1/k)²) = 1/2 = f(0,0)
- Berichten: 3.330
Re: Continu
Probeer eens met poolcoördinaten:x=rcos ,y=rsin ;x²+y²=r².
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 5.679
Re: Continu
Om continu te zijn in punt p, moet f(x,y) willekeurig dichtbij f(p) liggen overal in een gebiedje om p heen (formeel: als f: ²→<!--nop--> continu is te p moet er voor iedere ε>0 een δ>0 bestaan zodat |f(q)-f(p)|<ε zodra ||q-p||<δ ).
Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.
Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?
Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.
Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.068
Re: Continu
Stel dat je (0,0) benadert over de lijn y=x dan lijkt jouw a=1/2 een mogelijkheid. Benader nu (0,0) eens over de lijn y=2*x. Is a=1/2 nu nog steeds een mogelijkheid? (Dit zou wel moeten als de functie continue is in (0,0).)Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2
- Berichten: 24.578
Re: Continu
Blijkbaar heb je een eigenschap gezien op basis van rijtjes; bovenstaande suggesties werken dan ook: neem bv. het rijtje (1/k,-1/k) of (1/k,2/k).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 114
Re: Continu
Als x=-y dan is f(x,y)= -1/2 voor (x,y)/=0 , maar als je hier dan a=-1/2 is de functie dan ook niet continu voor alle (x,y)?Rogier schreef:Om continu te zijn in punt p, moet f(x,y) willekeurig dichtbij f(p) liggen overal in een gebiedje om p heen (formeel: als f: ²→<!--nop--> continu is te p moet er voor iedere ε>0 een δ>0 bestaan zodat |f(q)-f(p)|<ε zodra ||q-p||<δ ).
Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.
Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?
-
- Berichten: 7.068
Re: Continu
Om continu te kunnen zijn op de lijn x=y moet gelden dat a = 1/2.
Om continu te kunnen zijn op de lijn x=-y moet gelden dat a = -1/2.
Dat zijn twee tegenstrijdige voorwaarden. Ze kunnen niet beide gelden. De functie kan dus niet continu zijn...
Om continu te kunnen zijn op de lijn x=-y moet gelden dat a = -1/2.
Dat zijn twee tegenstrijdige voorwaarden. Ze kunnen niet beide gelden. De functie kan dus niet continu zijn...
- Berichten: 24.578
Re: Continu
Hoezo "hier"? Het gaat over de functiewaarde (die je wil definiëren) in hetzelfde punt (0,0)...!Als x=-y dan is f(x,y)= -1/2 voor (x,y)/=0 , maar als je hier dan a=-1/2 is de functie dan ook niet continu voor alle (x,y)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)