Continuïteit v. functie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 114

Continu

Weet iemand hoe je dit doet of wat er fout is aan mijn redenering ,bij volgende opgave? :

Toon aan dat f voor geen enkele waarde van a element v R continu is in (0,0)

f: R²->R:(x,y)-> xy/(x²+y²) als (x,y)/=(0,0) of a als (x,y) =(0,0)

Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2

Neem bv de rij Xk= (1/k,1/k) => lim Xk=(0,0) ( Xk /= (0,0) voor alle k element vd natuurlijke getallen)

Lim f(Xk) = ( (1/k)²/ ( (1/k)²+(1/k)²) = 1/2 = f(0,0)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Continu

Probeer eens met poolcoördinaten:x=rcos ;) ,y=rsin ;) ;x²+y²=r².
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Continu

Om continu te zijn in punt p, moet f(x,y) willekeurig dichtbij f(p) liggen overal in een gebiedje om p heen (formeel: als f: ;) ²→<!--nop--> ;) continu is te p moet er voor iedere ε>0 een δ>0 bestaan zodat |f(q)-f(p)|<ε zodra ||q-p||<δ ).

Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.

Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 7.068

Re: Continu

Ik dacht dat deze functie misschien wel continu zou kunnen zijn voor bv, a=1/2
Stel dat je (0,0) benadert over de lijn y=x dan lijkt jouw a=1/2 een mogelijkheid. Benader nu (0,0) eens over de lijn y=2*x. Is a=1/2 nu nog steeds een mogelijkheid? (Dit zou wel moeten als de functie continue is in (0,0).)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Continu

Blijkbaar heb je een eigenschap gezien op basis van rijtjes; bovenstaande suggesties werken dan ook: neem bv. het rijtje (1/k,-1/k) of (1/k,2/k).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 114

Re: Continu

Rogier schreef:Om continu te zijn in punt p, moet f(x,y) willekeurig dichtbij f(p) liggen overal in een gebiedje om p heen (formeel: als f: ;) ²→<!--nop--> ;) continu is te p moet er voor iedere ε>0 een δ>0 bestaan zodat |f(q)-f(p)|<ε zodra ||q-p||<δ ).

Aan je suggestie voor a te zien heb je wellicht al in de gaten dat f(x,y)=1/2 als x=y. Dus als f(x,y) in (0,0) continu zou moeten zijn, dan moet a=1/2 zijn.

Bekijk nu eens f(x,y) als x = -y ?
Als x=-y dan is f(x,y)= -1/2 voor (x,y)/=0 , maar als je hier dan a=-1/2 is de functie dan ook niet continu voor alle (x,y)?

Berichten: 7.068

Re: Continu

Om continu te kunnen zijn op de lijn x=y moet gelden dat a = 1/2.

Om continu te kunnen zijn op de lijn x=-y moet gelden dat a = -1/2.

Dat zijn twee tegenstrijdige voorwaarden. Ze kunnen niet beide gelden. De functie kan dus niet continu zijn...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Continu

Als x=-y dan is f(x,y)= -1/2 voor (x,y)/=0 , maar als je hier dan a=-1/2 is de functie dan ook niet continu voor alle (x,y)?
Hoezo "hier"? Het gaat over de functiewaarde (die je wil definiëren) in hetzelfde punt (0,0)...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer