Springen naar inhoud

Horner


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TIICT

    TIICT


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 19:40

Kan je me aub uitleggen hoe dit som: 2x^3 + 5x^2 - 3 met horner is op te lossen

alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 20:25

Verplaatst naar huiswerk.

Je zal een nulpunt moeten vinden, eventueel door 'gericht proberen', of op basis van bepaalde trucjes. Bijvoorbeeld: de som van de coëfficiënten van de even machten in x is gelijk aan de som van de coëfficiënten van de oneven machten in x; zegt dat je iets?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

TIICT

    TIICT


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 20:59

nee dat zegt me niets....?

#4

struikje

    struikje


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 21:05

Voor horner moet je 1 nulpunt weten te vinden. Je kan dit doen door de grafiek te plotten en dan te kijken op zicht, Of gewoon enkele eenvoudige getallen (-1, 1, 0, -2, 2) invullen.

Als je x hier gelijk stelt aan -1, bekom je 0. dan kan je verder oplossen mbv van horner.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 21:11

nee dat zegt me niets....?

Dan kan je gewoon 'proberen'; kandidaten zijn delers van de constant term (die is -3 bij jou); dus -1, 1, -3, 3.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 21:22

er bestaan enkele handige regels om delers van veeltermen te zoeken:

1)een veelterm in x (bvb LaTeX
is deelbaar door (x-1) , maw de functie LaTeX heeft als nulpunt 1
als de som van alle coefficienten van de veelterm = 0
Dat is makkelijk te controleren, en dat is in bovenstaand vb het geval. (2-3-2+3=0)
(dit is een gevolg van de reststelling die je misschien gezien hebt?)

2)een veelterm in x (bvb LaTeX
is deelbaar door (x+1) , maw de functie LaTeX heeft als nulpunt LaTeX
als de som van alle coefficienten van de even machtstermenen LaTeX = de som van alle coefficienten van de oneven machtstermen LaTeX . Ook dat is makkelijk te controleren, en ook dit is in bovenstaand vb het geval. (2-2=3-3)
(ook dit is een gevolg van de reststelling die je misschien gezien hebt?)

3)als een veelterm in x deelbaar is door (x-a) (maw dan is a een nulpunt van de functie...) dan moet a een deler zijn van de onafhankelijke term, dat is die term in de vt zonder x. (in bovenstaand vb 3: dus delers van 3 zijn +1, -1, +3, -3. Dat wil dus zeggen als de veelterm deelbaar is door een term (x-a), dan zal a 1 van deze delers zijn, maar niet alle delers van 3 zijn noodzakelijk nulpunten. het werkt maar in 1 richting, begrijp je?)

Je kan de regel van Horner gebruiken onm te zien welke van deze getallen ook effectief een nulpunt is. Weet je hoe dat werkt?
---WAF!---

#7


  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 09:07

... kandidaten zijn delers van de constant term (die is -3 bij jou); dus -1, 1, -3, 3.

Een onopvallende mededeling! Ik kende deze truc niet, en ik vind dat je hem ook wel in een rode kleur of met hoofdletters mag schrijven!

#8

TIICT

    TIICT


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 13:47

er bestaan enkele handige regels om delers van veeltermen te zoeken:

1)een veelterm in x (bvb LaTeX


is deelbaar door (x-1) , maw de functie LaTeX heeft als nulpunt 1
als de som van alle coefficienten van de veelterm = 0
Dat is makkelijk te controleren, en dat is in bovenstaand vb het geval. (2-3-2+3=0)
(dit is een gevolg van de reststelling die je misschien gezien hebt?)

2)een veelterm in x (bvb LaTeX
is deelbaar door (x+1) , maw de functie LaTeX heeft als nulpunt LaTeX
als de som van alle coefficienten van de even machtstermenen LaTeX = de som van alle coefficienten van de oneven machtstermen LaTeX . Ook dat is makkelijk te controleren, en ook dit is in bovenstaand vb het geval. (2-2=3-3)
(ook dit is een gevolg van de reststelling die je misschien gezien hebt?)

3)als een veelterm in x deelbaar is door (x-a) (maw dan is a een nulpunt van de functie...) dan moet a een deler zijn van de onafhankelijke term, dat is die term in de vt zonder x. (in bovenstaand vb 3: dus delers van 3 zijn +1, -1, +3, -3. Dat wil dus zeggen als de veelterm deelbaar is door een term (x-a), dan zal a 1 van deze delers zijn, maar niet alle delers van 3 zijn noodzakelijk nulpunten. het werkt maar in 1 richting, begrijp je?)

Je kan de regel van Horner gebruiken onm te zien welke van deze getallen ook effectief een nulpunt is. Weet je hoe dat werkt?


Ik snap het nu wel wat beter maar, waarom is het deelbaar door( x-1) en heeft als nulpunt 1

want in mijn geval 2x^3+5x^2-3 is geen nul maar -1....?

in uw voorbeeld zijn +1,-1,+3,-3 de dealers van 3, ik snap niet hoe u aan dat komt..?


nee, het oplossen met horner is totaal nieuw voor mij

#9


  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 15:43

Westy geeft 3 manieren waarmee je snel een oplossing kan vinden van de functie. Alleen als je mogelijkheden 1. en 2. probeert zie je dat die niet opgaan.
Blijft over regel nr. 3, die ook door TD was aangegeven. Je hebt als nulpunt van de functie die jij noemt een deler van de constante term nodig. Waarom dat is kan ik je nog wel voorrekenen denk ik maar het is niet van wezenlijk belang voor jou.
Delers van 3 zijn -3, -1, 1 en 3. Want 3/-3=-1, 3/-1=-3, 3/1=3 en 3/3=1 (de uitkomst is een heel getal). Dus probeer je of één van deze vier getallen, ingevuld in jouw functie, nul oplevert.
x=-3: 2x^3+5x^2-3 =-54+45-3=-6
x=-1: 2x^3+5x^2-3 = -2+5-3=0
x=1: 2x^3+5x^2-3 =2+5-3=4
x=3: 2x^3+5x^2-3 =54+45-3=bijna honderd.

Dus het enige nulpunt van jouw functie is x=-1. OK. Waarom is jouw functie te schrijven als (x+1)(ax^2+bx+c)?

Draai de situatie om. Stel je hebt de functie (x-3)(x-4)(x-5). Dan zijn de nulpunten: x=3, x=4, x=5. Kortom een factor binnen haakjes met x-a erin levert voor de functie een nulpunt bij x=a.

In jouw geval is het nulpunt x=-1. Beredeneer nu zelf dat (x+1)(ax^2+bx+c) het zelfde nulpunt heeft (nl. x=-1) als de functie ax^3+(b+a)x^2+(b+c).x+c. Dus als je de haakjes uitvermenigvuldigt krijg je een ander functievoorschrift maar het is gewoon dezelfde functie.

Zie je nu waarom je een nulpunt moet zoeken? En hoe je dan de factor (x-nulpunt) buiten haakjes kunt krijgen?

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 15:53

in uw voorbeeld zijn +1,-1,+3,-3 de dealers van 3, ik snap niet hoe u aan dat komt..?

(ax+b)(px+q)=... , a, b, p en q zijn gehele getallen
Werk de haakjes weg.
let op de constante term (constante term is de term zonder de variabele x): dan zijn b en q delers (geen dealers) van ... .
Verandert dit als je (ax²+bx+c)(px+q) bekijkt?

#11

TIICT

    TIICT


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 16:15

Westy geeft 3 manieren waarmee je snel een oplossing kan vinden van de functie. Alleen als je mogelijkheden 1. en 2. probeert zie je dat die niet opgaan.
Blijft over regel nr. 3, die ook door TD was aangegeven. Je hebt als nulpunt van de functie die jij noemt een deler van de constante term nodig. Waarom dat is kan ik je nog wel voorrekenen denk ik maar het is niet van wezenlijk belang voor jou.
Delers van 3 zijn -3, -1, 1 en 3. Want 3/-3=-1, 3/-1=-3, 3/1=3 en 3/3=1 (de uitkomst is een heel getal). Dus probeer je of één van deze vier getallen, ingevuld in jouw functie, nul oplevert.
x=-3: 2x^3+5x^2-3 =-54+45-3=-6
x=-1: 2x^3+5x^2-3 = -2+5-3=0
x=1: 2x^3+5x^2-3 =2+5-3=4
x=3: 2x^3+5x^2-3 =54+45-3=bijna honderd.

Dus het enige nulpunt van jouw functie is x=-1. OK. Waarom is jouw functie te schrijven als (x+1)(ax^2+bx+c)?

Draai de situatie om. Stel je hebt de functie (x-3)(x-4)(x-5). Dan zijn de nulpunten: x=3, x=4, x=5. Kortom een factor binnen haakjes met x-a erin levert voor de functie een nulpunt bij x=a.

In jouw geval is het nulpunt x=-1. Beredeneer nu zelf dat (x+1)(ax^2+bx+c) het zelfde nulpunt heeft (nl. x=-1) als de functie ax^3+(b+a)x^2+(b+c).x+c. Dus als je de haakjes uitvermenigvuldigt krijg je een ander functievoorschrift maar het is gewoon dezelfde functie.

Zie je nu waarom je een nulpunt moet zoeken? En hoe je dan de factor (x-nulpunt) buiten haakjes kunt krijgen?

dit begrijp ik:D
ja dat zie ik maar, hoe zit het met de abc formule van horner...?

#12


  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 16:32

OK, de abc formule van Horner. die bestaat niet echt maar dat geeft niet, er zijn twee manieren om de rest uit te werken. De één is een staartdeling, ik denk dat dat niet de beste methode is voor jou. Probeer eerst eens om de vorm die gaf, uit te vermenigvuldigen. Je krijgt dan zoiets als (bla)x^3+(blabla)x^2+(blablabla)x+(jadoei). Daarin zitten de a, b, en c. Nu moet je per macht van x de bla gelijk stellen aan het getal dat er bij jouw functie voorstaat. Je krijgt dan vier voorwaarden waaraan a, b en c aan moeten voldoen. Een aantal daarvan zie je direct, andere zijn misschien iets moeilijker. Probeer dat eens?

#13

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2010 - 21:52

Misschien toch best even de regel van Horner uitleggen:
Dit is geen formule , maar een eenvoudige en snelle berekeningsmethode om veeltermen te delen door (x-a) ;hier in jouw vb door (x+1) en om te bepalen wat dan het qoutient (opnieuw een veelterm) is. De eerste keer lijkt het ingewikkeld, maar je zal snel merken dat dit in feite niet zo is... Het gaat als volgt:
horner.JPG
Hoe begin je daar nu aan?
Volg even de 10 stappen op volgend schema (rode cijfers)
1. de veelterm waarvan je vertrekt LaTeX heeft als voorgetallen (coefficienten) van LaTeX , en tenslotte de onafhankelijke term: 2, 5, 0, -3 (vergeet de 0 niet!). Die schrijven we in de bovenste rij.
2. Links in het midden schrijven we het nulpunt, dat we gevonden hebben(zie vorige posts). Ps:als we de veelterm delen door (x+1) is het nulpunt -1 ; want we delen altijd door (x-a) met a=nulpunt.
3. de eerste coefficient laten we gewoon zakken naar beneden.
4. vermenigvuldig nulpunt met het getal onderaan: -1 . 2 = -2 ; die -2 schrijven we in het op de middelste rij
5. we tellen dit getal op met de 2de coefficient en schrijven de som onderaan: 5 + (-2) = 3
6. idem stap 4: namelijk -1 . 3 = -3
7. idem stap 5: namelijk 0 + (-3) = -3
8. idem stap 4: ...
9. idem stap 5: deze laatste som moet 0 zijn , dwz dat de deling uitkomt, of anders gezegd: dat de gegeven veelterm inderdaad deelbaar is door (x-a) , in ons vb hier (x+1), of nog anders gezegd dat -1 inderdaad een nulpunt is van de functie LaTeX
horner2.jpg
De 3 getallen die je nu onderaan ziet staan (links van de latste 0) zijn: 2, 3, -3
Dit zijn nu de coefficienten van de quotient-veelterm, dus de voorgetallen van LaTeX en de onafhankelijke term. (zie je waarom ik hier LaTeX als hoogste macht neem?)


Dus je kan jouw gegeven veelterm dus als volgt ontbinden in factoren:
LaTeX
De laatste tweedegraadsveelterm kan je -indien mogelijk- verder ontbinden met de discriminantmethode, dan ken je?
---WAF!---

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2010 - 08:23

Een onopvallende mededeling! Ik kende deze truc niet, en ik vind dat je hem ook wel in een rode kleur of met hoofdletters mag schrijven!

Terzijde: op deze manier spoor je eventuele gehele nulpunten op; als er een geheel nulpunt is, zit het sowieso tussen deze delers.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15


  • Gast

Geplaatst op 16 augustus 2010 - 08:41

Ik heb persoonlijk nooit begrepen wat het precieze nut is van die staartdeling. Hij wordt ook niet onderwezen, ook niet op de TU. De methode die ik leerde was als ax^2+bx+c=px^2+qx+r dan los je gewoon op a=p, b=q, c=r. Natuurlijk zijn p, q en r hier producten van a, b, en c, en het stelsel van vergelijkingen is niet lineair.
Maar zeker als je al een nulpunt hebt gevonden van een derdegraadsvergelijking, zijn er bijna geen onbekenden meer en die er nog zijn kun je zeer eenvoudig bepalen.
LaTeX
Waaruit direct volgen r=-3 en p=2. Om q te bepalen heb je meerdere mogelijkheden, kies maar q+r=0 of p+q=5, in beide gevallen krijg je q=3.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures