E en ln

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 16-08-'10, 11:27

lucca

Berichten: 758

E en ln

\( f(x) = \frac{x-1}{x^2} \)
en
\( g(x) = \ln{\frac{1}{x}} \)
\( f(x) = g(x) \)
\( \frac{x-1}{x^2} = \ln{\frac{1}{x}} \)
\( e^{\frac{x-1}{x^2}} = \frac{1}{x} \)
\( e^{\frac{x-1}{x^2}} * x = 1 \)
In ieder geval leidt dit tot één (mogelijke) oplossing, als volgt :
\( A = B = A * B = 1 \)
dan volgt x =1 (ook de enige oplossing)

Toch moet er een ''nettere'' manier zijn om dit algebraïsch op te lossen. Kan iemand een helpende hand toesteken?
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 11:56

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: E en ln

Ik begrijp je oplossingsprocedure niet helemaal? x=1 is natuurlijk correct, echter ik kom daar op het eerste gezicht alleen bij door "zomaar" wat in te vullen (die waarde ligt wel redelijk voor de hand, want dan krijg je f(x)=0/iets en g(x)=log(1)=0).

Maar nee, er is geen algebraïsche manier om dit op te lossen. Als f(x) bijvoorbeeld (x-2)/x² was geweest zou je ook geen exacte oplossing kunnen vinden.

Je kunt wel eenvoudig aantonen dat x=1 de enige oplossing is: g(x) is dalend, en f(x) is strikt stijgend op het domein van g(x).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 12:00

lucca

Berichten: 758

Re: E en ln

Ik had zo bedacht :
\( A * B = 1 \)
dan zou er eventueel een oplossing kunnen zijn met :
\( A = B = 1 \)
A = e-macht

B = x

dus x = 1 en A = e^0 = 1.

Maar inderdaad, dit is niet ''echt'' algebraïsch.

Dank voor de ondersteuning!
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 12:55

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: E en ln

trokkitrooi schreef:
\( A * B = 1 \)
dan zou er eventueel een oplossing kunnen zijn met :
\( A = B = 1 \)
Dat zou inderdaad kunnen en komt hier 'toevallig' uit, maar je kan natuurlijk ook aan 1 komen via 5*1/5, pi*1/pi, enz. en dan is de oplossing niet zomaar 'af te lezen'. Het zal dus in het algemeen niet algebraïsch lukken, hier heb je 'geluk'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 15:16

lucca

Berichten: 758

Re: E en ln

Oké, verder veronderstel ik dat :
\( f(x) = \frac{x-1}{x^2} \)
en
\( g(x) = \ln{\frac{1}{x}} \)
dan :
\( \frac{df(x)}{dx} = \frac{-1}{x^2} + \frac{2}{x^3} \)
en
\( \frac{dg(x)}{dx} = \frac{-1}{x} \)
Het schijnt dat deze twee grafieken elkaar haaks snijden, dus dan moet gelden :
\( \frac{df(1)}{dx} = \frac{-1}{1^2} + \frac{2}{1^3} = 1 = m_1 \)
\( \frac{dg(1)}{dx} = \frac{-1}{1} = -1 = m_2 \)
\( \tan{\alpha} = \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \)
\( \tan{\alpha} = \frac{1--1}{1+-1*1} = .... (oneindig?) \)
Nu weet ik dat geldt :
\( m_1*m_2 = -1 \)
dan staan ze haaks op elkaar, dus klopt (misschien)... maar waar gaat het fout bie die tangens?
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 15:26

TerrorTale

Berichten: 146

Re: E en ln

Uit je richtingscoëfficiënten kan je al afleiden dat beide raaklijnen elkaar loodrecht zullen snijden want

1/(-m1)=m2

dit zie je ook aan je tangens, wanneer gaat je tangens namelijk naar oneindig?

tan(90°)=sin(90°)/cos(90°)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 15:37

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: E en ln

\( \frac{df(1)}{dx} = \frac{-1}{1^2} + \frac{2}{1^3} = 1 = m_1 \)
Dit is een slechte notatie, want f(1) is een constante en de afgeleide (naar x) is dan ... ?

Beter is, en ook gebruikelijk:
\(\left[\frac{f(x)}{dx}\right]_{x=1}\)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 15:58

TerrorTale

Berichten: 146

Re: E en ln

of f'(1)?
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 16:03

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: E en ln

of f'(1)?
Wat denk je?
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 16:13

TerrorTale

Berichten: 146

Re: E en ln

dat het zo mag.. Omdat f'(x) gewoon de afgeleide is van f(x), je zou f'(x) ook g(x) kunnen noemen en dan g(1) zeggen.
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 16:17

lucca

Berichten: 758

Re: E en ln

Oja, het klopt juist wel...

Ik zal proberen de (juiste) notatiewijze is de toekomst te hanteren.

Overigens lijkt mij f'(1) dan ook niet correct!
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 16:55

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: E en ln

trokkitrooi schreef:Oja, het klopt juist wel...

Ik zal proberen de (juiste) notatiewijze is de toekomst te hanteren.

Overigens lijkt mij f'(1) dan ook niet correct!
Waarom denk je dat f'(1) niet correct is?

@TerrorTale, liever niet g(x), want deze wordt al gebruikt.
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 17:36

lucca

Berichten: 758

Re: E en ln

Omdat deze impliceert naar de functie zelf?
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 17:37

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: E en ln

Safe schreef:Dit is een slechte notatie, want f(1) is een constante en de afgeleide (naar x) is dan ... ?

Beter is, en ook gebruikelijk:
\(\left[\frac{f(x)}{dx}\right]_{x=1}\)
Hier zal toch ook een d in de teller bedoeld zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-08-'10, 17:51

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: E en ln

Tja, waarom moeilijk doen? ;)
\(f'(1)\)
:cry:

Lijkt mij het kortst, snelst te interpreteren en niet voor meerderlei uitleg vatbaar.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”