Stelling van rolle

Skyliner

Hallo,

even klein probleempje:

Roll's Theorem

Suppose that y = f(x) is continuous at every point of the closed interval[a,b] and differentiable at every point of its interior (a,b).If

f(a) = f(b)

then there is at least one number c between a and b at which

f'© = 0

Oke, er zijn een aantal cruciale voorwaarden eer aan de stelling van Rolle voldaan is. 1 ervan is f(a) = f(b)

Wat wil dat zeggen? want overal staat als vanzelfsprekend deze gelijkstelling, maar in feite heb ik nog nooit gezien wat het wil zeggen, ofwel heb ik het al eens gezien maar weet ik het niet meer.

bedankt!

JWvdVeer

Stel je voor je hebt een continue functie op het interval [a, b]. Hierbij geldt overigens ook nog dat

\(a \neq b\)

, waarbij geldt dat f(a) = f(b). Dus ofwel, de y-waarde van beide functies is even hoog. Dan loopt daar dus een lijn tussen (curve o.i.d). Wanneer de afgeleide op dat stuk altijd stijgend of altijd dalend zou zijn, zou het nooit kunnen dat beiden een zelfde y-waarde hebben. Kortom: ergens met f'(x) gelijk aan 0 zijn.

Stel we hebben een functie

\(f(x)\)

.

\(f(a) = f(b), a \neq b\)

En de functie is continue op het interval [a, b].

Stel dat f'(x) op het interval nooit nul zou zijn. Dan hebben we twee situaties:

1. f'(x) is op interval [a, b] altijd positief.

Dan geldt:

\(\int_{a}^{b} f'(a)\,\mbox{d}x > 0\)

Hieruit volgt:

\(f(a) + \int_{a}^{b} f'(x)\,\mbox{d}x = f(b) \longrightarrow f(a) < f(b)\)

2. f'(x) is op interval [a, b] altijd negatief:

Dan geldt:

\(\int_{a}^{b} f'(a)\,\mbox{d}x < 0\)

Hieruit volgt:

\(f(a) + \int_{a}^{b} f'(x)\,\mbox{d}x = f(b) \longrightarrow f(a) > f(b)\)

Hieruit volgt dus dat wanneer geldt:

\(f(a) = f(b)\)

, dat de afgeleide niet op het gehele interval [a, b] positief of negatief kan zijn. Dus heb je minimaal één nulpunt op het interval [a, b].

Tudum

Wat wil dat zeggen? want overal staat als vanzelfsprekend deze gelijkstelling, maar in feite heb ik nog nooit gezien wat het wil zeggen, ofwel heb ik het al eens gezien maar weet ik het niet meer.

Dat betekent dat de functiewaarde van f in a gelijk is aan de functiewaarde van f in b.

Afbeelding

TD

Skyliner schreef:Oke, er zijn een aantal cruciale voorwaarden eer aan de stelling van Rolle voldaan is. 1 ervan is f(a) = f(b)

Wat wil dat zeggen? want overal staat als vanzelfsprekend deze gelijkstelling, maar in feite heb ik nog nooit gezien wat het wil zeggen, ofwel heb ik het al eens gezien maar weet ik het niet meer.

Het is altijd nuttig na te gaan waarom die voorwaarden belangrijk zijn. Bij het studeren zou ik schetsen maken van functies die telkens aan een van de voorwaarden niet voldoen; construeer zo tegenvoorbeelden. Dat kan gewoon door te tekenen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Stelling van rolle

Stelling van rolle

Re: Stelling van rolle

Re: Stelling van rolle

Re: Stelling van rolle