Pagina 1 van 2
Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 13:50
door Grimwar
Hallo,
Ik ben twee zeer lastige limieten tegengekomen. Ik ben mij volop aan het voorbereiden voor mijn herexamens van wiskunde, en ik heb heel wat internet doorzocht maar ik vind nergens een oplossing of uitleg over zulke limieten dus misschien dat jullie mij kunnen helpen::
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 13:57
door TD
Voor de eerste: is het de bedoeling standaardlimieten te gebruiken (zoals sin(x)/x voor x naar 0) of de stelling van l'Hôpital? Voor de tweede moet je het gedrag van Bgtan(x) op oneindig kennen, of denk aan de tangens...
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:02
door Grimwar
we mogen een methode naar keuze gebruiken (ik gebruik liever stelling van L'Hôpital), voor de tweede weet ik wel hoe het op grafiek eruitziet maar hoe moet je het nu berekenen?
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:06
door TD
Voor die tweede valt er niet veel te berekenen, je moet
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \mbox{Bgtan}\, x\)
kennen en dan gewoon gebruiken...
Voor die eerste lijkt l'Hôpital me helemaal niet aangewezen, dat (meermaals) gaan afleiden is geen pretje. Ken je die standaardlimieten en zou je die kunnen gebruiken? Misschien helpt dit al wat:
\(\frac{{{x^2}\tan \left( {5x} \right)}}{{{{\sin }^3}\left( {3x} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\sin }^2}\left( {3x} \right)}}\frac{{\tan \left( {5x} \right)}}{{\sin \left( {3x} \right)}}\)
Je moet wel nog wat prutsen aan de coëfficiënten om de standaardlimieten te kunnen toepassen.
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:21
door Grimwar
ja ik snap het nu wel! danku wel! ik heb er niet over nagedacht om de eerste te splitsen in twee aparte limieten..
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:27
door TD
Oké, graag gedaan. Beide opgaven zijn gelukt? Als je wil, kan je je antwoorden laten controleren.
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:33
door Grimwar
Wacht ik heb het toch niet, in de oefeningen van mijn cursus staat het nog altijd een beetje anders bv. sin2x/tan5x, hiermee kan ik perfect de standaardlimieten gebruiken om het op te lossen (sin2x/2 * 5x/tan5x * 2x/5x) oke dat is simpel, maar in deze opgave is tangens in de teller, en sinus in de noemer (wat de hele situatie omdraait) dus eigenlijk weet ik niet hoe ik het verder moet aanpakken
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:35
door TD
Als a/b = 1, wat is dan b/a? Of nog: als sin(x)/x naar 1 gaat voor x naar 0, wat geeft x/sin(x) dan voor x naar 0?
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:38
door Grimwar
oke dus ik zou dezelfde formule kunnen gebruiken, dan is mijn uitkomst voor deze oefening 9/5 klopt dit?
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:39
door TD
Dan heb je toch iets in teller en/of noemer verkeerd gedaan...
Lijkt mij omgekeerd en nog een factor te weinig, aan het kwadraat gedacht?
\(\frac{{{x^2}\tan \left( {5x} \right)}}{{{{\sin }^3}\left( {3x} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{{\sin }^2}\left( {3x} \right)}}\frac{{\tan \left( {5x} \right)}}{{\sin \left( {3x} \right)}} = \frac{1}{9}\frac{{{{\left( {3x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}\left( {3x} \right)}}\frac{{\tan \left( {5x} \right)}}{{\sin \left( {3x} \right)}}\)
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:45
door Grimwar
ik snap niet hoe je aan 1/9 komt eigenlijk..
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:46
door TD
Er staat sin(3x) in de noemer, om de standaardlimiet te kunnen toepassen heb je dus ook 3x/sin(3x) nodig in plaats van x/sin(3x). Maar het staat er in het kwadraat, dus dat heb je twee keer. Het toevoegen van 3² in de teller, moet je compenseren met delen door 3².
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:47
door Westy
Wacht ik heb het toch niet, in de oefeningen van mijn cursus staat het nog altijd een beetje anders bv. sin2x/tan5x, hiermee kan ik perfect de standaardlimieten gebruiken om het op te lossen (sin2x/2 * 5x/tan5x * 2x/5x) oke dat is simpel, maar in deze opgave is tangens in de teller, en sinus in de noemer (wat de hele situatie omdraait) dus eigenlijk weet ik niet hoe ik het verder moet aanpakken
Maakt in feite niet veel uit of t in de teller of in de noemer staat:
zowel
\(lim_{x \to 0}\frac{sin(3x)}{3x}\)
als
\(lim_{x \to 0}\frac{3x}{sin(3x)}\)
gaan naar 1 , en idem voor de tangens;
dus als sin(u) of tan(u) in de teller staan, moet je ervoor zorgen dat je in de noemer ook u krijgt, en als ze in de noemer staan, moet je in de teller u krijgen...
ik hoop dat dit je probleem wat verduidelijkt?
edit: opmerking is ondertussen al achterhaald; alweer te traag...
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 14:57
door Grimwar
oke ik denk (denk) dat ik het heb :
\(\frac{x²}{sin²(3x)} \frac{tan(5x)}{sin(3x)} = \frac{1}{9} \frac{(3x)²}{sin²(3x)} \frac{tan(5x)}{5x} \frac{3x}{sin(3x)} \frac{9x*3}{5x*9} = \frac{27}{45}\)
Re: Limieten
Geplaatst: wo 18 aug 2010, 15:00
door TD
Het laatste stuk snap ik niet; je voegt 3/5 toe dus je moet compenseren met 5/3 in plaats van 3/5; die omweg via 9/9 is niet nodig.
\(\frac{{{x^2}\tan \left( {5x} \right)}}{{{{\sin }^3}\left( {3x} \right)}} = \frac{1}{9}\frac{{{{\left( {3x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}\left( {3x} \right)}}\frac{{\tan \left( {5x} \right)}}{{5x}}\frac{{3x}}{{\sin \left( {3x} \right)}}\frac{5}{3}\)