Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Rowntree

Iemand die me kan helpen bij het volgende vraagstuk ?

Een arbeider moet een metalen voederbak bouwen (halve cilinder), deze

moet een inhoud hebben van 1m³.

Welke afmetingen (lengte en diameter) moet hij gebruiken om zo weinig materiaal te gebruiken ?

2m³= pi*r²*h (volledige cilinder)

Ik denk dat ik moet werken met afgeleiden ?

Hoe begin je aan zo'n opgave ?

TD

Stel een formule op voor de inhoud, daarvan weet je dat het gelijk moet zijn aan 1. Stel een formule op voor de oppervlakte (maat voor de hoeveelheid materiaal), daarvan zoek je een minimum.

Deze formule zal nog l (lengte) en d (diameter) bevatten, maar dankzij de eerste formule kan je een van beide vervangen in functie van de andere.

Je formule voor de oppervlakte kan je zo schrijven in functie van alleen l (of d) om dan inderdaad via afgeleiden het minimum te bepalen. Probeer je even verder?

Xenion

Rowntree schreef:Ik denk dat ik moet werken met afgeleiden ?

Hoe begin je aan zo'n opgave ?

Dit werkt inderdaad met afgeleiden.

Stel V(h,r) het volume in functie van de hoogte h en de straal r.

Stel dan S(h,r) de oppervlakte in functie van dezelfde variabelen.

Je hebt als voorwaarde gegeven dat

\(\frac{V(h,r)}{2} = 1\)

Uit die vergelijking kan je dan r of h (maakt niet uit dewelke, maar eentje is soms eenvoudiger dan de andere) afzonderen.

Als je dan bijvoorbeeld h hebt afgezonderd, dan heb je h in functie van r en kan je deze invullen in S(h,r) zodat de oppervlakte eigenlijk alleen nog maar functie is van r: S( r).

Dan kan je zoals gewoonlijk het minimum van deze functie bepalen.

Edit: TD was me voor

Rowntree

Voor de hoogte bekom ik dan de volgende formule:

h=

\(\frac {2}{\pi*r²}\)

Als ik deze invul in de formule voor de oppervlakte bekom ik:

f(S)=

\(2\pi*r*\frac {2}{\pi*r²}+2\pi*r²\)

Van die laatste formule moet ik nu

f(S)' berkenen ?

TD

Heb je bij de oppervlakte rekening gehouden met het feit dat het maar een halve cilinder is? Maakt dat uit?

En wat bedoel je met "f(S)"? Die oppervlakte is nu nog functie van enkel r...

JWvdVeer

Graag zien we ook je tussenstappen. Overigens is hetgeen wat je schrijft helemaal okee:

\(O(r, h) = ....\)

\(I(r, h) = .... \longrightarrow h(I, r) = ....\)

De inhoud (I of V, als het beestje maar een naampje heeft) weet je, namelijk 1m³, dan kun je alle r en h in elkaar uitdrukken (keuze aan jou, jij doet nu r, wat wellicht ook het makkelijkst is).

En inderdaad moet je nu de formule afleiden. Maar ik zou eerst nog even vereenvoudigen.

Rowntree

\(O(r, h) = 2*\pi*r*h+2*\pi*r²\)

\(V(r, h) = \pi*r²*h \)

\(\frac {V(h,r)}{2}=1\)

\(1= \frac {\pi*r²*h}{2}\)

Dus wordt h=

\(\frac {2}{\pi*r²}\)

Dan voeg ik de nieuwe formule van h in, in de formule van O:

O=

\(2*\pi*r*\frac {2}{\pi*r²}+2*\pi*r²\)

Na vereenvoudigen bekom ik:

\(O=\frac {4}{r}+2*\pi*r²\)

Xenion

Rowntree schreef:Na vereenvoudigen bekom ik:

\(O=\frac {4}{r}+2*\pi*r²\)

En van die functie zou je dan het minimum moeten bepalen.

Rowntree

\(f(x)'=-4r^-²+2\pi2r\)

Nu r afzonderen en dan via de 2e afgeleide het minimum bepalen ?

Xenion

Nu r afzonderen en dan via de 2e afgeleide het minimum bepalen ?

Extrema bepaal je met de 1e afgeleide, wat weet je over de afgeleide van een functie in de punten waar de functie minimaal of maximaal is?

TD

Rowntree schreef:
\(f(x)'=-4r^-²+2\pi2r\)

Nu r afzonderen en dan via de 2e afgeleide het minimum bepalen ?

Je zoekt de nulpunten van de eerste afgeleide, dus dit gelijkstellen aan 0 en oplossen naar r.

De tweede afgeleide kan je gebruiken om te controleren dat het effectief over een minimum gaat.

JWvdVeer

Ik dacht dat het een halve cilinder was, zoals TD al aangaf?

Ofwel:

\(V(r, h) = \frac{\pir²h}{2} \longrightarrow h( r ) = ...\)

\(O(r, h) = \pi r² + \pi r h \longrightarrow O( r ) = ...\)

\(O'( r ) = ...\)

(...)

Nu werk je met een volledige cilinder. Is ook goed, maar dan moet je wel voor de inhoud 2m³ nemen.

TD

Nu werk je met een volledige cilinder. Is ook goed, maar dan moet je wel voor de inhoud 2m³ nemen.

Dat is niet per se nodig, maar daarvoor zou ik graag hebben dat Rowntree hier nog op antwoordt:

Heb je bij de oppervlakte rekening gehouden met het feit dat het maar een halve cilinder is? Maakt dat uit?

Rowntree

\(\frac {V(h,r)}{2}=1\)

Ik heb dus het volume gedeeld door 2 en gelijkgesteld aan 1 (van 1m³, dus halve cilinder )

TD

Dat klopt, maar daarna minimaliseer je wel de oppervlakte van de hele cilinder i.p.v. een halve cilinder (ga dat na, kijk naar je formule). Wellicht was dat niet je bedoeling, maar misschien is dat geen probleem voor de uitkomst. Denk er eens over na.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen

Re: Cilinder met max. inhoud min. afmetingen