Springen naar inhoud

Basis van eigenruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2010 - 15:20

Hallo,

Bij deze heb ik een beginnersvraag.
Kan iemand mij uitleggen hoe ik een basis van een eigenruimte kan berekenen?

Voorbeeld:

LaTeX

met LaTeX

Wat ik al weet:
Eerst de matrix LaTeX berekenen.
Dan LaTeX in echelonvorm brengen.

Volgens mij:
LaTeX

Maar wat is dan de basis?

Het antwoord moet zijn: LaTeX

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2010 - 15:30

Volgens mij:
LaTeX

Dit is (een deel van) de matrixvoorstelling van een stelsel, je kan nu terugkeren naar vergelijkingen en oplossen. Maar volgens mij gaat er iets mis (tweede rij) bij het brengen naar echelonvorm, kijk je dat nog eens na?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2010 - 16:02

Dit zou wel moeten kloppen:

LaTeX

De vergelijkingen luiden dan:

LaTeX
LaTeX
LaTeX is vrij

Hoe is hieruit verder dan een basis af te leiden?

Alvast bedankt.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2010 - 16:05

Je kon eerder welke variabele vrij kiezen, deze keuze kan dus ook.

De oplossingenverzameling is dus {(-t/2,t,t) | t in R} = {(-t,2t,2t) | t in R}.

Zie je nu eenvoudig een basis voor deze verzameling?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 19:14

Ik zie het inderdaad. Met bijvoorbeeld t=1 wordt het antwoord verkregen. Alle veelvouden zijn natuurlijk ook basissen (toch?).

Dan heb ik nog een vraag. Vaak heeft een matrix twee dezelfde eigenwaarden, als bijvoorbeeld een term als LaTeX in de karakteristieke vergelijking LaTeX voorkomt. Zijn er dan ook 2 verschillende basissen te vinden bij deze eigenwaarde? Of ben ik in de war met eigenvectoren? Ik weet het even niet meer. ;)

Alweer bedankt voor het antwoord.

Veranderd door Puntje, 22 augustus 2010 - 19:18


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 19:25

Ik zie het inderdaad. Met bijvoorbeeld t=1 wordt het antwoord verkregen. Alle veelvouden zijn natuurlijk ook basissen (toch?).

De verzameling met eender welk niet-nul veelvoud is inderdaad ook een basis.

Dan heb ik nog een vraag. Vaak heeft een matrix twee dezelfde eigenwaarden, als bijvoorbeeld een term als LaTeX

in de karakteristieke vergelijking LaTeX voorkomt. Zijn er dan ook 2 verschillende basissen te vinden bij deze eigenwaarde? Of ben ik in de war met eigenvectoren? Ik weet het even niet meer. ;)

In dat geval kan het zijn dat je twee lineair onafhankelijke eigenvectoren bij die eigenwaarde hebt; een basis voor deze eigenruimte bestaat dan uit zo twee lineair onafhankelijke eigenvectoren. Het is echter ook mogelijk dat je geen twee lineair onafhankelijke eigenvectoren bij zo'n dubbele eigenwaarde vindt; de ruimte is dan (zoals hierboven) eendimensionaal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 21:19

Zo'n 2-dimensionale basis is bijvoorbeeld bij het volgende het geval.

Ik heb een matrix A met LaTeX en de gereduceerde aangevulde matrix voor LaTeX ziet er zo uit:

LaTeX

Er zijn hier 2 vrije variabelen (x2 en x3) en daaruit concludeer ik dat de basis voor de eigenruimte dus 2-dimensionaal is. De eigenwaarde heeft blijkbaar een algebraische multipliciteit van 2.

Ik ben gewend de oplossing van dit stelsel uit te drukken als: LaTeX
In mijn boek drukken doen ze het zo:
LaTeX

Hierin is een basis zeer eenvoudig te zien, namelijk:
LaTeX

Maar hoe komen ze in het boek precies aan die notatie? Ik zie het niet helemaal. Als ik deze notatie begrijp zit ik niet meer zo in de war met het vinden van basissen.

Veranderd door Puntje, 25 augustus 2010 - 21:26


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 21:27

Met de keuze die je bij de oplossing van het stelsel gemaakt hebt, is x_1 te schrijven met behulp van x_2 en x_3; schrijf dan:

LaTeX

Zie je het?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 21:39

Nu zie ik het, bedankt!

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 21:40

Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures