Basis van eigenruimte

Puntje

Hallo,

Bij deze heb ik een beginnersvraag.

Kan iemand mij uitleggen hoe ik een basis van een eigenruimte kan berekenen?

Voorbeeld:

\(A= \begin{pmatrix}4 & 0 & 1\\-2 & 1 & 0\\-2 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

met \(\lambda = 2\)

Wat ik al weet:

Eerst de matrix \(B = A - \lambda I\) berekenen.

Dan \(\begin{pmatrix}B & 0\end{pmatrix}\) in echelonvorm brengen.

Volgens mij:

\(\begin{pmatrix}B & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -1 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)

Maar wat is dan de basis?

Het antwoord moet zijn: \(\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\)

Alvast bedankt!

TD

Puntje schreef:Volgens mij:

\(\begin{pmatrix}B & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -1 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)

Dit is (een deel van) de matrixvoorstelling van een stelsel, je kan nu terugkeren naar vergelijkingen en oplossen. Maar volgens mij gaat er iets mis (tweede rij) bij het brengen naar echelonvorm, kijk je dat nog eens na?

Puntje

Dit zou wel moeten kloppen:

\(\begin{pmatrix}B & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)

De vergelijkingen luiden dan:

\(x_1 = -\frac{1}{2}x_3\)

\(x_2 = x_3\)

\(x_3\) is vrij

Hoe is hieruit verder dan een basis af te leiden?

Alvast bedankt.

TD

Je kon eerder welke variabele vrij kiezen, deze keuze kan dus ook.

De oplossingenverzameling is dus {(-t/2,t,t) | t in R} = {(-t,2t,2t) | t in R}.

Zie je nu eenvoudig een basis voor deze verzameling?

Puntje

Ik zie het inderdaad. Met bijvoorbeeld t=1 wordt het antwoord verkregen. Alle veelvouden zijn natuurlijk ook basissen (toch?).

Dan heb ik nog een vraag. Vaak heeft een matrix twee dezelfde eigenwaarden, als bijvoorbeeld een term als \((\lambda-2)^{2}\) in de karakteristieke vergelijking \(det(A-\lambda I) = 0\) voorkomt. Zijn er dan ook 2 verschillende basissen te vinden bij deze eigenwaarde? Of ben ik in de war met eigenvectoren? Ik weet het even niet meer.

Alweer bedankt voor het antwoord.

TD

Ik zie het inderdaad. Met bijvoorbeeld t=1 wordt het antwoord verkregen. Alle veelvouden zijn natuurlijk ook basissen (toch?).

De verzameling met eender welk niet-nul veelvoud is inderdaad ook een basis.

Dan heb ik nog een vraag. Vaak heeft een matrix twee dezelfde eigenwaarden, als bijvoorbeeld een term als \((\lambda-2)^{2}\) in de karakteristieke vergelijking \(det(A-\lambda I) = 0\) voorkomt. Zijn er dan ook 2 verschillende basissen te vinden bij deze eigenwaarde? Of ben ik in de war met eigenvectoren? Ik weet het even niet meer.

In dat geval kan het zijn dat je twee lineair onafhankelijke eigenvectoren bij die eigenwaarde hebt; een basis voor deze eigenruimte bestaat dan uit zo twee lineair onafhankelijke eigenvectoren. Het is echter ook mogelijk dat je geen twee lineair onafhankelijke eigenvectoren bij zo'n dubbele eigenwaarde vindt; de ruimte is dan (zoals hierboven) eendimensionaal.

Puntje

Zo'n 2-dimensionale basis is bijvoorbeeld bij het volgende het geval.

Ik heb een matrix A met \(\lambda = 2\) en de gereduceerde aangevulde matrix voor \((A-2I)x = 0\) ziet er zo uit:

\(\begin{bmatrix}2 & -1 & 6 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)

Er zijn hier 2 vrije variabelen (x2 en x3) en daaruit concludeer ik dat de basis voor de eigenruimte dus 2-dimensionaal is. De eigenwaarde heeft blijkbaar een algebraische multipliciteit van 2.

Ik ben gewend de oplossing van dit stelsel uit te drukken als: \(x_1 = \frac{1}{2}x_2 - 3x_3\)

In mijn boek drukken doen ze het zo:

\(\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Hierin is een basis zeer eenvoudig te zien, namelijk:

\(\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \}\)

Maar hoe komen ze in het boek precies aan die notatie? Ik zie het niet helemaal. Als ik deze notatie begrijp zit ik niet meer zo in de war met het vinden van basissen.

TD

Met de keuze die je bij de oplossing van het stelsel gemaakt hebt, is x_1 te schrijven met behulp van x_2 en x_3; schrijf dan:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}{x_2} - 3{x_3}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \\\end{array}} \right] = {x_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\\end{array}} \right] + {x_3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\\end{array}} \right]\)

Zie je het?

Puntje

Nu zie ik het, bedankt!

TD

Graag gedaan.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Basis van eigenruimte

Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte

Re: Basis van eigenruimte