\(${\displaystyle\int\frac{dx}{{(a^2+x^2})^\frac{3}{2}}}$\)
hierin stellen we volgens de cursus dat \(x=a*tan(t)\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{a}{cos^2t}\Rightarrow dx=\frac{adt}{cos^2t}\)
en dan krijgen we deze keer dat\(${\displaystyle\int\frac{adt}{{a^3(1+tan^2t)^\frac{3}{2}}cos^2t}=\frac{1}{a^2}\int{costdt}=\frac{sint}{a^2}+k\)
zodat we na de inverse substitutie uiteindelijk vinden dat\(I=\frac{1}{a^2}sin(arctan\frac{x}{a})+k\)
er staat ook vermeld dat je het anders kan vinden, via \(tant=\frac{x}{a}\)
enzovoort...Ik begrijp deze substitutie echt niet, ik weet dat in de praktijk je vaak de functie g(t) (dus de 'vervanger') op een verstandige wijze zelf moet kiezen, maar hier zie ik de logica niet van in. Hoe kom je er op om te zeggen: 'kijk nu ga ik eens een tangens gebruiken om alles netjes op te lossen'..?
bedankt!
