Integraal: kracht op een tank

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 20-08-'10, 13:53

MartijnBr

Berichten: 27

Integraal: kracht op een tank

Goede middag,

Zojuist ben ik bijles aan het geven aan een student bij mij op school. Ik geef hem bijles in differentieren en nu komt hij met een integraal opgave.

Het is voor mij al weer even geleden dat ik dit gedaan heb, en ik kom er zelf niet echt uit. Zou iemand mij kunnen helpen, of in ieder geval een stukje op weg kunnen helpen betreft een kleine manier van aanpak.

Alvast bedankt.

Opgave:

Een tank is gevuld met water. De tank heeft de vorm van een halve cilinder (goot) met halve cirkels als voor- en achtervlak met straal 1 m, zie figuur.



Je gaat de (hydrostatische) kracht op het voorvlak bepalen. Daartoe plaats je het assenstelsel zoals aangegeven in de figuur. Neem voor de zwaartekrachtversnelling g = 10m/s2 .

Maak gebruik van de theorie: de kracht F door een vloeistofkolom op de bovenkant van een horizontaal vlak met oppervlak A op een diepte y is F = pgyA ,

p= de dichtheid van de vloeistof,

p= 1000 kg/m3.

Afbeelding
Omhoog

Bericht 20-08-'10, 15:54

bessie

Re: Integraal: kracht op een tank

Maak gebruik van de theorie: de kracht F door een vloeistofkolom op de bovenkant van een horizontaal vlak met oppervlak A op een diepte y is F = pgyA ,
Dit geldt niet alleen voor horizontale vlakken gelukkig.

Het is een beetje jammer dat in dit geval y is genomen als integratievariabele, vandaar dat sommige formules raar aan zullen doen.

Het oppervlak van een strook met y-coordinaat is
\(2.\sqrt(1-y^2).dy\)
, met daarop een druk van
\(\rho.g.y\)
.

De totale kracht op de halve cirkel wordt dan
\(\int 2.\rho.g.y.\sqrt(1-y^2).dy\)
met onder en bovengrens 0 en 1.

Succes,
Omhoog

Bericht 20-08-'10, 16:14

Student aan Avans

Berichten: 9

Re: Integraal: kracht op een tank

Hallo,

Ik zit met hetzelfde probleem en ik kwam op de volgende integraal uit:

F= ∫ 10000 ∙ (1-y) ∙ 2 x lengte tank √(-y²+1) dy



De bovengrens van de integraal is 1 en de ondergrens is 0!

Zou iemand deze integraal voor mij uit kunnen werken want ik kom er niet uit!

De lengte van het vat wordt waarschijnlijk gegeven op het tentamen dus daar

kan gewoon een willekeurig getal voor worden gekozen!

Alvast bedankt!

Student aan Avans
Omhoog

Bericht 20-08-'10, 17:12

MartijnBr

Berichten: 27

Re: Integraal: kracht op een tank

bessie schreef:Dit geldt niet alleen voor horizontale vlakken gelukkig.

Het is een beetje jammer dat in dit geval y is genomen als integratievariabele, vandaar dat sommige formules raar aan zullen doen.

Het oppervlak van een strook met y-coordinaat is
\(2.\sqrt(1-y^2).dy\)
, met daarop een druk van
\(\rho.g.y\)
.

De totale kracht op de halve cirkel wordt dan
\(\int 2.\rho.g.y.\sqrt(1-y^2).dy\)
met onder en bovengrens 0 en 1.

Succes,
Ik snap het redelijk, alleen de theorie achter het bepalen van de oppervlakte van dat blokje is me niet helemaa duidelijk. Ik neem aan dat er dusdanig veel blokjes met een hoogte deltay binnen de halve cirkel worden geplaatst dat de kromming geen invloed meer heeft op de oppervlakte omdat deze hoogtes zo minimaal zijn. Maar de verdere verklaring van de formule is me niet duidelijk.

Bedankt voor je vorige snelle reactie.
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 00:34

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Integraal: kracht op een tank

Misschien is het duidelijker door de twee integralen expliciet te schrijven; waarbij je de x en y coördinaten over alle punten van het oppervlak laat lopen:
\(\int_0^1 f(y)dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}dx=\int_0^1f(y)2\sqrt{1-y^2}dy\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 09:39

bessie

Re: Integraal: kracht op een tank

Even, er is een verschil tussen deze DV en die van 'student aan a..' want die berekent de kracht op de hele tank, niet alleen het eindschot.

Ik neem even aan dat jij nog steeds uit bent op de kracht op dit eindschot.

Je mag inderdaad aannemen dat de kromming niet mee doet, omdat als je integreert je niet meer werkt met eindige dy maar met infinitesimaal kleine dy.

De oppervlak van de complete eenheidscirkel zou je kunnen uitrekenen met de integraal (onder- en bovengrens -1 en 1):
\(\int 2 \sqrt(1-y^2)dy\)
alleen dit is een integraal die niet analytisch uit te rekenen is. Immers er komt
\(\pi\)
uit. De twee is omdat de wortelvorm via de cirkelvergelijking gelijk is aan de afstand van cirkel tot y-as, en die moet je verdubbelen om ook het deel links van de y-as mee te krijgen.

Edit: ja dat kan wel maar dan moet je cos(u) substitueren maar dat is hier niet van belang.

Maar de oppervlak binnen een parabool met y=x^2 kun je gewoon uitrekenen met twee stukjes van wortel(y) maal dy.
\(\int 2 \sqrt(y)dy=4/3 .y.\sqrt(y)\)
Vergelijk dit met de integraal
\(\int 2 \sqrt(x)dx\)
voor de om de x=y as gespiegelde parabool (ofwel de worttelkromme). Ook hier wordt geen rekening gehouden met de kromming van de grafiek!

Overigens klopt de verklaring van ZvdP ook, maar dat vind ik persoonlijk een beroerde vorm om uit te rekenen (hij niet vermoed ik). Kies de methode die je het beste ligt.

Begrijp je wel dat je het oppervlak van het lijn-elementje vermenigvuldigt met p, volgens jouw formule?
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 13:34

MartijnBr

Berichten: 27

Re: Integraal: kracht op een tank

Ik snap het in een zekere zin. Het is mij namelijk niet helemaal duidelijk waarom er in het integraal de bovenzijde van de tank niet terug komt (oppervlak A).

Daarnaast snap ik het grotendeels, ik kan alleen geen verklaring vinden achter de Wortel(1-y2), is dit een standaard gegeven? Of geeft de bovengrens aan en kan dit dus ook vervangen worden door bijvoorbeeld 3 als dit de bovengrens zou zijn?

Daarnaast snap ik niet hoe er gekomen kan worden tot:
\(\int 2 \sqrt(y)dy=4/3 .y.\sqrt(y)\)
En dan met namen de 4/3 niet. Want ik neem aan dat y . wortel(y) = wortel(y2)
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 14:10

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Integraal: kracht op een tank

Waarom zou je het bovenvlak meenemen in de integraal? Je wil de kracht op de zijwand berekenen.

De vergelijking van een cirkel is
\(x^2+y^2=r^2\)
of dus
\(x=\pm\sqrt{r^2-y^2}\)
Wanneer y van 0 tot r² loopt, loopt x van
\(-\sqrt{r^2-y^2}\)
tot
\(\sqrt{r^2-y^2}\)
of om het op Bessies manier te zeggen: op een diepte y is de cirkel
\(2\sqrt{r^2-y^2}\)
breed in de x-richting.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 15:34

MartijnBr

Berichten: 27

Re: Integraal: kracht op een tank

Oke, dus die r2 zet ik dan om naar 1^2 = 1 waardoor ik krijg x=2 sqrt{1-y^2}.

Maar hoe word dit vervolgens terug gekoppelt aan \int 2 \sqrt(y)dy=4/3 .y.\sqrt(y)

Is dit omdat je hem gaat integreren?
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 17:25

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Integraal: kracht op een tank

Je wil een functie evalueren over een oppervlak, dat gaat zo:
\(\int_a^bdy\int_{f_1(y)}^{f_2(y)}f(x,y)dx\)
of
\(\int_c^ddx\int_{f_3(x)}^{f_4(x)}f(x,y)dy\)


Beide geven dezelfde uitkomst, maar soms is het makkelijker om de grenzen als f(y) ipv f(x) te schrijven of andersom. In dit geval zijn beide even makkelijk.

f(x,y) is nu de druk in het punt met coördinaat (x,y). Deze is gegeven en gelijk aan
\(\rho gy\)


De eerste uitdrukking levert de integraal die in het eerste bericht van Bessie staat. Lukt het om deze uit te werken?

Verborgen inhoud
met substitutie kan je hem naar een standaardintegraal herleiden
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 21-08-'10, 18:22

Student aan Avans

Berichten: 9

Re: Integraal: kracht op een tank

WEET IEMAND HIER HET ANTWOORDT VAN:?

F= ∫ 10000 ∙ (1-y) ∙ 2 x lengte tank √(-y²+1) dy

lengte tank = (zogezegd) 8 meter, dus dan wordt de integraal:

F= ∫ 10000 ∙ (1-y) ∙ 16 √(-y²+1) dy
Omhoog

Bericht 22-08-'10, 09:05

bessie

Re: Integraal: kracht op een tank

Ik begrijp niet waar jij een term (1-y) vandaan haalt. En als je de lengte van de tank erbij hebt, bereken je iets anders dan de TS van dit topic.

Geef voor de zekerheid ook nog even onder- en bovengrens van de integraal.
Omhoog

Bericht 22-08-'10, 11:06

Student aan Avans

Berichten: 9

Re: Integraal: kracht op een tank

De integraal zou volgens mij moeten zijn:

bovengrens 1

F = ∫ 10000 ∙ (1-y) ∙ 2 x lengte tank √(-y²+1) dy

ondergrens 0

De term (1-y) is de hoogte waarop het water zich bevindt.

Ze vragen de oppervlakte van een horizontaal strookje in de formule,

dus moet je de lengte van de tank ook meenemen samen met de

x-coördinaat: 2√(-y²+1). Dus de breedte maal de lengte!

Maar mijn vraag is nog steeds hoe je die integraal oplost?

Graag een reactie!
Omhoog

Bericht 22-08-'10, 11:20

bessie

Re: Integraal: kracht op een tank

Als je 1-y neemt als hoogte van het elementje, dan is er iets anders dan bij de vorige opgave. Je moet dan ofwel een nieuwe figuur maken met daarin de afspraken omtrent y, diepte, hoogte en druk. De druk neemt toe met de diepte, niet met de hoogte.

Verder, als je over de hele tank moet rekenen, wordt het oppervlak van het element niet lengte x breedte, met lengte en breedte van de tank. Om een integreerbare uitdrukking te krijgen, moet je een oppervlak hebben met daarin dy. De andere afmeting is dus geen oppervlak maar een omtrek of lengte. Enig idee hoe je deze gaat berekenen? Liefst met tekening?
Omhoog

Bericht 22-08-'10, 12:11

MartijnBr

Berichten: 27

Re: Integraal: kracht op een tank

Wat Student aan Avans doet klopt inderdaad neit helemaal in mijn ogen. Het is toch gewoon zo dat ik het integraal pak van de oppervlakte van het rechthoekje. Deze ga ik vervolgens integreren, na mijn integratie vermenigvuldig ik deze met pgA..

Ik moet vandaag helaas werken, morgen krijg ik een boek waar integreren wat verder in uitgelegd staat, dus ik kom dan even terug met een uitwerking.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”