Limieten van rijen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.129
Limieten van rijen
Hallo, ik ben begonnen met een nieuw boek alhoewel ik er eigenlijk niets van snap
Maar afin, in het onderstaand voorbeeld bespreken ze eindige limieten.
Bij Analoog staat er dat voor n>100 alle termen in ]0,09 ; 1,01[ liggen indien lU(n) - 1l < 0,01
Volgens mij denk ik dat ze een fout hebben gemaakt hebben, want 1 is hier de limiet en als je dit doet:
1+0,01=1,01
1-0,01 =0,99 0,09
De fout is dus dat het niet ]0,09 ; 1,01[ moet zijn, maar ]0,99 ; 1,01[
Ik vraag bevestiging,
Hartelijk Bedankt!!
Maar afin, in het onderstaand voorbeeld bespreken ze eindige limieten.
Bij Analoog staat er dat voor n>100 alle termen in ]0,09 ; 1,01[ liggen indien lU(n) - 1l < 0,01
Volgens mij denk ik dat ze een fout hebben gemaakt hebben, want 1 is hier de limiet en als je dit doet:
1+0,01=1,01
1-0,01 =0,99 0,09
De fout is dus dat het niet ]0,09 ; 1,01[ moet zijn, maar ]0,99 ; 1,01[
Ik vraag bevestiging,
Hartelijk Bedankt!!
- Berichten: 581
Re: Limieten van rijen
Beste mcfaker123,
Ik denk dat je inderdaad gelijk hebt. Dit lijkt mij een foutje in het boek.
Ik denk dat je inderdaad gelijk hebt. Dit lijkt mij een foutje in het boek.
---WAF!---
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van rijen
hey bedanktWesty schreef:Beste mcfaker123,
Ik denk dat je inderdaad gelijk hebt. Dit lijkt mij een foutje in het boek.
ik had de hele dag hieraan gespendeert
- Berichten: 24.578
Re: Limieten van rijen
Is dit Van Basis Tot Limiet? Zo ja, welk boek?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van rijen
inderdaad, van basis tot limiet, die boeken zijn echt niet te doen vindt ikIs dit Van Basis Tot Limiet? Zo ja, welk boek?
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van rijen
ik heb eigenlijk nog een vraagje: er staat:
"kies n(0) 1/ , dan geldt n>n(0) "
ze zeggen dat n>n(0) , dat is toch niet waar, ze zeggen zomaar zonder bewijs dat n>n(0), hoe komen ze daarbij?
en wat doet die n(0) daar?, die duikt plotseling op, heb geen idee waarom ze er nog een n(0) bij doen.
Hartelijk Bedankt!!
"kies n(0) 1/ , dan geldt n>n(0) "
ze zeggen dat n>n(0) , dat is toch niet waar, ze zeggen zomaar zonder bewijs dat n>n(0), hoe komen ze daarbij?
en wat doet die n(0) daar?, die duikt plotseling op, heb geen idee waarom ze er nog een n(0) bij doen.
Hartelijk Bedankt!!
- Berichten: 24.578
Re: Limieten van rijen
Er staat niet dat n groter is dan n(0), er staat dat ALS n groter is dan n(0) DAN ... (implicatie).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van rijen
Bedankt , maar wat doet die n(0) daar eigenlijk?Er staat niet dat n groter is dan n(0), er staat dat ALS n groter is dan n(0) DAN ... (implicatie).
- Berichten: 24.578
Re: Limieten van rijen
Zie de definitie, lager. Dat moet je zien als een soort 'grensindex'. Voor elke e>0 moet je zo'n grensindex n(0) kunnen vinden zodat voor alle termen die verder liggen (dus met n > n(0)), geldt dat... (afschatting met epsilon).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 1.129
Re: Limieten van rijen
Bedankt voor het antwoord, ik denk dat ik het snapZie de definitie, lager. Dat moet je zien als een soort 'grensindex'. Voor elke e>0 moet je zo'n grensindex n(0) kunnen vinden zodat voor alle termen die verder liggen (dus met n > n(0)), geldt dat... (afschatting met epsilon).
- Berichten: 24.578
- Berichten: 581
Re: Limieten van rijen
Edit, misschien wat laat, maar misschien toch nog nuttig?
Dit soort bewijzen zijn inderdaad niet zo makkelijk. Je bent absoluut niet de enige die daar last mee heeft.
Vooreerst even dit: Het gaat hier over een reeks met termen
Als ik schrijf 'de term met
In het voorbeeld bovenaan was
en dan berekenden ze dat alle termen van de reeks vanaf de 10de, de 100ste of de 1000ste term (maw de termen
Dus als we hierin verdergaan: hoe groter die
Als we nu willen dat de strook een bepaalde dikte heeft (vb
De definitie zegt nu -en nu even aandachtig, want elk woord heeft hier zijn belang-
dat we voor elke
Voor elke n die groter is dan die
Wat dus betekent dat, omdat jij
Als je met deze uitleg in je achterhoofd de definitie eens herleest zal je ze waarschijnlijk al wat beter begrijpen?
Dit soort bewijzen zijn inderdaad niet zo makkelijk. Je bent absoluut niet de enige die daar last mee heeft.
Vooreerst even dit: Het gaat hier over een reeks met termen
\(t_1, t_2, t_3, ..., t_n, t_{n+1},...\)
Elke term wordt berekend met een formule, alnaargelang de waarde van nAls ik schrijf 'de term met
\(n>n_0\)
', dan bedoel ik dus alle termen die voorbij die \(n_0\)
liggen: dus de termen\(t_{n_0+1}, t_{n_0+2}, t_{n_0+3}, ...\)
In het voorbeeld bovenaan was
\(n_0\)
eerst 10 ; dan 100 ; dan 1000 en dan berekenden ze dat alle termen van de reeks vanaf de 10de, de 100ste of de 1000ste term (maw de termen
\(t_n \)
met \( n>n_0\)
binnen een smalle horzontale strook vallen met breedte 0,2 ; 0,02 of 0,002.Dus als we hierin verdergaan: hoe groter die
\(n_0\)
hoe smaller die strook zal worden.Als we nu willen dat de strook een bepaalde dikte heeft (vb
\(2\epsilon\)
) dan kunnen we die \(n_0\)
in functie daarvan berekenen (in dit vb blijkt dat dus \(n_0\leq \frac{1}{\epsilon}\)
te zijn.)De definitie zegt nu -en nu even aandachtig, want elk woord heeft hier zijn belang-
dat we voor elke
\(\epsilon\)
(hoe klein ook) een \(n_0\)
kunnen vinden zodat het volgende geldt:Voor elke n die groter is dan die
\(n_0\)
, zal de afstand tussen de reeksterm \(t_n\)
en a (de limiet uit de definitie) kleiner zijn dan \(\epsilon\)
anders gezegd: jij kiest een willekeurige \(\epsilon\)
hoe klein ook (daarmee leg jij dus de breedte van de horizontale strook vast, hoe smal je maar wil), dan kan ik jou een \(n_0\)
berekenen zodat elke term met \(n>n_0\)
binnen die strook ligt. (maw: de term ligt dichter bij de limietwaarde a dan eender welke kleine afstand \(\epsilon\)
, of nog anders : de afstand tussen die term en a is kleiner dan \(\epsilon\)
)Wat dus betekent dat, omdat jij
\(\epsilon\)
steeds maar kleiner en kleiner mag maken, de termen van de reeks uiteindelijk steeds maar dichter en dichter bij die a zullen liggen, maw de reeks nadert oneindig dicht naar die limietwaarde Als je met deze uitleg in je achterhoofd de definitie eens herleest zal je ze waarschijnlijk al wat beter begrijpen?
---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Limieten van rijen
Om verwarring te voorkomen zou ik hierboven telkens "rij" lezen wanneer er "reeks" staat .
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 581
Re: Limieten van rijen
bedankt voor deze rechtzetting, moest natuurlijk rij zijn.Om verwarring te voorkomen zou ik hierboven telkens "rij" lezen wanneer er "reeks" staat .
---WAF!---