Springen naar inhoud

Goniometrische vergelijkingen met de hand oplossen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Arnowmoan

    Arnowmoan


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2010 - 19:48

Hey,

Ik vraag me af hoe je bepaalde goniometrische vergelijkingen kan oplossen. Het gaat bijvoorbeeld om de vergelijking:

tan(x) = x

Met allerlei wiskundige programma's is dit uiteraard geen enkel probleem maar dit moet ik dus zonder deze hulpmiddelen kunnen. Dit moet ik ook kunnen voor andere vergelijkingen zoals bijvoorbeeld:

1 = x*tan(1/x)

Is er misschien een handige algemene manier om deze op te lossen?

Bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2010 - 20:34

Lijkt me niet mogelijk om deze vergelijkingen algebraisch exact op te lossen.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#3

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2010 - 21:35

De eerste vergelijking heeft in ieder geval x = 0 als oplossing, maar andere oplossingen zul je met een numerieke methode moeten zien te benaderen. Bij de tweede vergelijking zul je in ieder geval zeker een numerieke methode moeten gebruiken.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#4

Arnowmoan

    Arnowmoan


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2010 - 21:45

En hoe doe je dit juist, benaderen met een numerieke methode?

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 augustus 2010 - 23:41

Mag je een GRM gebruiken?
Heb je numerieke methoden geleerd?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 09:42

Grafisch kan je ook andere oplossingn bepalen; oplossingen heb je immers waar de grafieken elkaar snijden:



Merk op dat er oneindig veel oplossingen zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7


  • Gast

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 09:51

tan(x) = x

1 = x*tan(1/x)

Het valt wel op dat deze twee vergelijkingen bijna identiek zijn, immers de tweede is 1/x=tan(1/x).

Om welke vergelijkingen gaat het nog meer?

#8

Arnowmoan

    Arnowmoan


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 10:43

Het probleem is dat ik deze zonder grafische hulpmiddelen moet kunnen oplossen ;)

Het gaat telkens om functies waarvan ik het bereik (en dus de extrema moet van kunnen vinden). Bijvoorbeeld:

f(x) = (1/x)*sin(x)

met f'(x) = (x*cos(x)-sin(x))/(x≤) = 0

waaruit dan volgt dat x = tan(x)

Andere voorbeelden zijn dan functies als f(x) = (1/x)*sin(1/x) en f(x) = sin(1/x)

#9


  • Gast

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 10:52

Aha, daar zit hem de kneep dus. Het uitrekenen van het bereik houdt niet in dat je de extremen hoeft te berekenen. Goniometrische functies hebben een zeer duidelijk bereik, nl. sin en cos worden nooit groter dan 1 en kleiner dan -1.

Bijvoorbeeld je laatste opgave, sin(1/x), hiervan kun je zo direct het bereik bepalen. Lukt dat? Soms heb je misschien nog een limiet nodig, om te bepalen wat er gebeurt als x 'naar oneindig nadert'.

#10

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 12:00

Voor de zekerheid toch maar even een paar definities: als f een gegeven functie van x is, dan bedoelen we met het domein van f alle mogelijke waarden die x mag aannemen, en met het bereik van f bedoelen we alle alle mogelijke waarden die y mag aannemen
als y = f(x).

Veranderd door mathreak, 22 augustus 2010 - 12:00

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#11

Arnowmoan

    Arnowmoan


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 12:33

Ja voor f(x) = sin(1/x) is het erg duidelijk dat snap ik, maar voor de functie:

f(x) = (1/x)*sin(x)

moet je toch de extrema bepalen om te zien welke waarde deze functie als minima inneemt om zo het bereik te bepalen?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 13:18

en met het bereik van f bedoelen we alle alle mogelijke waarden die y mag aannemen
als y = f(x).

Volgens mij verwar je hier codomein (f een functie van X naar Y, Y is het codomein) met het bereik. Ook al 'mag' de functie f:R->R die x afbeeldt op x≤ alle waarden in R aannemen (codomein), het bereik is slechts R+, de positieve reŽle getallen (incl. 0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 17:20

Volgens mij verwar je hier codomein (f een functie van X naar Y, Y is het codomein) met het bereik. Ook al 'mag' de functie f:R->R die x afbeeldt op x≤ alle waarden in R aannemen (codomein), het bereik is slechts R+, de positieve reŽle getallen (incl. 0).

Ik bedoelde met alle mogelijke waarden die y mag aannemen al die waarden van y waarvoor y = f(x) gedefinieerd is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#14

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 22 augustus 2010 - 22:41

Is er misschien een handige algemene manier om deze op te lossen?

Is er geen domein gegeven?

Veranderd door thermo1945, 22 augustus 2010 - 22:42






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures