Springen naar inhoud

Raadsel met enkel natuurlijke getallen...


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:05

Naar aanleiding van een ander topic:

Een commandant heeft van zijn generaal een belangrijk strategisch bevel gekregen.
Hij moet al zijn tanks in een rechthoekige formatie plaatsen zodat aan de volgende voorwaarde voldaan is:"als de tanks op de omtrek van de rechthoek tot actie overgaan, dan moeten er nog dubbel zoveel tanks overblijven als er net vertrokken zijn." Wat is het minimum aantal tanks waarmee de commandant deze klus kan klaren en hoe moet hij de tanks plaatsen.


Het antwoord van dit raadsel staat overigens ook in het gegeven topic (ga er vanuit dat het correct is).

Zelf had ik het raadsel geÔnterpreteerd als: Als alle tanks op de rand zijn vertrokken moeten er nog (minimaal) het dubbele aantal tanks overblijven.

Mijn aanpak was dan ook:

Een rechthoek kent een hoogte en een breedte. De meest efficiŽnte rechthoek heet een vierkant, want dan is de omtrek van de rechthoek het kleinst ten opzichte van de oppervlakte. In dit geval moeten het aantal tanks op de rand van de rechthoek 1/3e zijn van de oppervlakte (totaal aantal tanks).

(...)
LaTeX


ABC-formule er op loslaten, laat zien dat x minimaal 11 is.


Maar nu bleek dat het de bedoeling was dat enkel natuurlijke getallen gebruikt werden. En dus krijg je de vergelijking:

LaTeX
Hierbij geldt:
LaTeX

Maar hoe pak je dit systematisch aan?

Ik weet twee dingen:
- De vermenigvuldiging van h met b is een drievoud.
- De vermenigvuldiging van h met b is minimaal 121, gezien bij het meest efficiŽnte rechthoek met reŽle getallen de vergelijking pas voor 121 opging.

Mijn poging:
LaTeX
LaTeX
LaTeX

De vermenigvuldiging van van h met b blijkt zelfs een zesvoud te zijn (6n).

Maar hoe nu verder?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:17

Iets verder:

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Of andersom:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Wat ik hier nu wijzer van wordt weet ik nog niet...

Veranderd door JWvdVeer, 23 augustus 2010 - 22:24


#3

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:29

LaTeX


Mijn redenering:

LaTeX

Oplossen naar b geeft, net zoals jij hebt:
(edit, hetzij lichtjes herschreven met -tekens)
LaTeX

De voorwaarde hier is dat b en h beide natuurlijke getallen zijn en dus groter dan 0.
Dat kan alleen als h > 6.

Dus h = 7: daaruit volgt b = 30.

Dat antwoord wordt ook door holland gegeven in het raadsel topic. Ik hoop dat we gelijk hebben ;)

Edit2:
Ik zie dat we daarmee wel nog niet het aantal mee geminimaliseerd hebben. Toch nog wat verder puzzelen dus ;)

Veranderd door Xenion, 23 augustus 2010 - 22:34


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:36

Je wil zo weinig mogelijk tanks gebruiken? Dan zou ik niet 7 en 30, maar 10 en 12 nemen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:41

Je wil zo weinig mogelijk tanks gebruiken? Dan zou ik niet 7 en 30, maar 10 en 12 nemen.


Dat had ik ook net bedacht, door in de formule voor de oppervlakte b te substitueren en dan het minimum te zoeken met behulp van de afgeleide.

Dat komt echter niet mooi uit op natuurlijke getallen, dus dan heb ik gewoon met afronding gewerkt en ben zo ook op 10 en 12 gestoten.

Heb jij nog een andere manier, TD?

#6

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:41

Je wil zo weinig mogelijk tanks gebruiken? Dan zou ik niet 7 en 30, maar 10 en 12 nemen.

Oeps... Is inderdaad het antwoord...

Edit2:
Ik zie dat we daarmee wel nog niet het aantal mee geminimaliseerd hebben. Toch nog wat verder puzzelen dus ;)

Tja, Wolfram geeft mij ook te kennen dat we beter 10x12 kunnen nemen... ;).
Maar het is niet uitdagend om dat uit te laten rekenen. Vandaar dat ik ook op zoek ben naar een systematische aanpak.

Veranderd door JWvdVeer, 23 augustus 2010 - 22:44


#7

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:43

10 en 12 is in elk geval niet het antwoord...


10 en 12 is anders ook wel het beste dat ik vind door.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:47

Gewoon invullen gaat hier het snelst... Maar via je afgeleide heb je een idee waar het 'reŽle' minimum zich bevindt, het is dan nog de vraag of er in de buurt ook natuurlijke oplossingen zijn. Om dat in te zien kan je eventueel als volgt herschrijven:

LaTeX

De teller 24 is deelbaar door 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; voor resp. h = 7, 8, 9, 10, 12, 14, 18, 30.
Rond het reŽle minimum heb je dus h=10 en h=12 die gehele oplossingen geven; met resp. b=12 en b=10.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 22:50

Rond het reŽle minimum heb je dus h=10 en h=12 die gehele oplossingen geven; met resp. b=12 en b=10.


Jep dat is wat ik ook had. Ik heb wel niet naar die delers van 24 gekeken, maar gewoon 10 en 11 (de natuurlijke getallen rond het reŽle optimum) gekozen en dan vastgesteld dat enkel 10 hier een passende oplossing is.

Cool, dit is mijn 1000e post op het forum ;)

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 augustus 2010 - 07:36

Misschien te veel mosterd, maar ik zou het zo doen:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Gezien de delers van 24 kan h nu 7, 8, 9 of 10 zijn. Vanwege het 'vierkant'-argument is h=10 (en b=12) dan de logische kandidaat.

#11

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 augustus 2010 - 07:43

LaTeX

Hoe kom jij aan die eerste stap?

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 augustus 2010 - 08:24

Hoe kom jij aan die eerste stap?

Je hebt een rechthoek van h bij b. Als je daar de buitenste laag vanaf haalt, heb je een rechthoek van (h-2)*(b-2) [aan beide kanten van de rechthoek gaat er 1 laag weg). De buitenkant is de zijden bij elkaar opgeteld. Dan tel je echter de hoekpunten dubbel, dus die moeten er dan nog af.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures