Springen naar inhoud

Factor bewijzen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 23:20

''Show that for all integers n the number n^3-n always has 3 as a factor. (Consider the three cases: n=3k, n=3k+1, n=3k+2.)''

Het oplossen van deze vraag door gebruik te maken van de drie gegeven gevallen lukt prima. Gewoon de drie waarden van n invullen en dan drie buiten haakjes halen. Ook zie ik in dat je alleen maar deze drie gevallen hoeft te bewijzen omdat alle gevallen hoger dan drie terug te voeren zijn naar deze drie gevallen met het enige verschil dat je dan (k+a) schrijft i.p.v. alleen k.

Maar wat ik niet begrijp, is waarom je dit niet gewoon kan bewijzen door te zeggen: n^3-n=3(1/3*n^3-1/3*n). Voor n kan je immers elk geheel getal invullen, waarmee je ook het bewijs levert, lijkt me.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 23:22

Maar zie jij 'op zicht' dat n≥/3-n/3 geheel is voor elke n? Je verplaatst het probleem alleen maar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 23:43

Maar maakt het dan uit of dat geheel is? Want als je het keer drie doet dan krijg je er altijd een geheel getal uit omdat n ook alleen maar geheel kan zijn. Door n^3-n=3(1/3*n^3-1/3*n) te doen, laat ik naar mijn idee alleen maar zien dat het gehele getal n^3-n, drie als factor heeft, en dat lijkt me voldoende bewijs.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 augustus 2010 - 23:45

Nee, met "3 als factor" wordt natuurlijk wel bedoeld dat het getal deelbaar is door 3. Anders heeft 7 ook 3 als factor want 7 = 3*(7/3). Dat is niet de bedoeling ;). In jouw geval zal die uitdrukkingen tussen haakjes natuurlijk wťl geheel zijn, maar dat is net te bewijzen.

Overigens is dit (naar mijn mening) veel eleganter te bewijzen dan die drie gevallen afgaan; ontbind eens in factoren - wat zie je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Tempus

    Tempus


  • >250 berichten
  • 340 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 augustus 2010 - 00:27

Ah natuurlijk! Ik was te ver doorslagen met m'n buiten haakjes halen. Okť, ontbinden in factoren geeft
n^3-n=(n-1)*n*(n+1). Voor elke n geeft dit drie opeenvolgende getallen dus zal er altijd een veelvoud van drie bij zitten. Dat is inderdaad een stuk eleganter en sneller. ;) Hoewel ik niet precies weet hoe je dit mooi wiskundig opschrijft. ;)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 augustus 2010 - 00:33

Dat had ik ook in gedachten, bij drie opeenvolgende natuurlijke getallen zit natuurlijk altijd een drievoud.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures