Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

extremefun1

De opgave met uitwerking:

Bewijs:

Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.

Gegeven:

Afbeelding

Zie figuur; er zijn letters ingevoerd, de streepjes geven gelijke lijnstukken aan. ABCD is een vierkant.

AP = PB, CQ = QD en DR = RA.

Te bewijzen:

PR = QR en ∠PRQ = 90°.

Bewijs:

Omdat AP = DQ, AR = DR en ∠A = ∠D = 90° zijn driehoeken APR en DQR congruent (ZHZ).

Dus is RP = RQ.

Omdat zowel ΔAPR en ΔDQR gelijkbenig en rechthoekig zijn is ∠ARP = ∠DRQ = 45° (hoekensom driehoek).

Dus is ∠PRQ = 180° 45° 45° = 90°.

Q.e.d. (Quod erad demonstrandum: wat de bewijzen was)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mijn vraag met uitleg:

Er wordt begonnen met het gegeven:

"ABCD is een vierkant.

AP = PB, CQ = QD en DR = RA."

Dit snap ik.

Dan bij het kopje bewijs staat er ineens: "Omdat AP = DQ, AR = DR ...". Mag je zo van uitgaan dat AP = DQ en AR = DR?

Moet het niet eerst bewezen worden door bijvoorbeeld:

½DC = DQ

½AB=AP

AB=DC, dus ½AB=½DC

Hieruit volgt AP = DQ

JWvdVeer

Dan bij het kopje bewijs staat er ineens: "Omdat AP = DQ, AR = DR ...". Mag je zo van uitgaan dat AP = DQ en AR = DR?

Yep, een vierkant heeft vier gelijke zijden. De helften van alle zijden zijn gelijk. Hieruit volgt:

AP = AR = BP = CQ = DQ = DR (is ook gegeven in het plaatje).

Hieruit volgt dan vrij eenvoudig dat de driehoeken APR en DQR congruent zijn. Daaruit volgt dan logischerwijze dat PQR gelijkzijdige driehoek is (QR = RP, hoek PQR = hoek QPR (z-figuur)).

Er zijn echt heel veel manieren waarop dit te bewijzen valt.

extremefun1

Bedankt voor je antwoord.

Dat AP even lang is als PB is al gegeven. Want punt P ligt op de helft van AB (gegeven). Zelfde is dit het geval voor punt Q op helft van de lijn DC

Maar ik hoef dus niet eerst helemaal uit te leggen waarom bijvoorbeeld AP even lang is als DQ (die tegenover elkaar liggen).

Je mag zonder uitleg te geven zomaar zeggen: "AP = AR = BP = CQ = DQ = DR." ?

simon333

Tjah, je zou het mogen uitleggen, maar dit is totaal niet de essentie van het vraagstuk.

Bij grotere bewijzen is het niet altijd de bedoeling dat je je bewijsvoering helemaal ontleedt tot bv. de stelling van Pythagoras.

Zo zou je in jouw vraagstuk ook het bewijs van congruente driehoeken kunnen leveren, maar dit wordt als een gegeven beschouwd.

Groeten,

Simon

JWvdVeer

Bij grotere bewijzen is het niet altijd de bedoeling dat je je bewijsvoering helemaal ontleedt tot bv. de stelling van Pythagoras.

Ik weet niet of je dat zo maar ongestraft kunt stellen. Ik denk gewoon dat je uit moet gaan van de gegevens die je op dit moment hebt. Als je het plaatje bekijkt is het gewoon gegeven dat: AP = AR = BP = CQ = DQ = DR. En van daaruit kun je gewoon verder redeneren.

bessie

Ik weet niet of je dat zo maar ongestraft kunt stellen. Ik denk gewoon dat je uit moet gaan van de gegevens die je op dit moment hebt. Als je het plaatje bekijkt is het gewoon gegeven dat: AP = AR = BP = CQ = DQ = DR. En van daaruit kun je gewoon verder redeneren.

Hierin zit een tegenstrijdigheid. Ik geef toe dat er symbolen staan in de door jou aangegeven lijnstukken. Maar je hebt niet bewezen dat het hier gaat om rechte lijnstukken, dat concludeer je uit de woorden vierkant en zijde, of uit het plaatje zonder dat daar symbolen bij staan voor een rechte lijn.

Er blijft, denk ik, altijd een onduidelijkheid in wat er precies te bewijzen is. Afhankelijk van het niveau van de vraag moet je bepaalde zaken bewijzen en andere niet.

JWvdVeer

Hierin zit een tegenstrijdigheid. Ik geef toe dat er symbolen staan in de door jou aangegeven lijnstukken. Maar je hebt niet bewezen dat het hier gaat om rechte lijnstukken, dat concludeer je uit de woorden vierkant en zijde, of uit het plaatje zonder dat daar symbolen bij staan voor een rechte lijn.

In de vraagstelling is inderdaad gegeven dat het om een vierkant gaat. Dat is nogmaals gegeven in het plaatje (rechte hoeken, drie even grote zijden). Daarnaast is gegeven dat de lengte van al die halve zijden gelijk is.

Vanaf dat moment zijn er vele wegen die naar Rome leiden (je hoeft overigens enkel te bewijzen dat PR = QR of dat de hoeken QPR en PQR gelijk zijn).

Er blijft, denk ik, altijd een onduidelijkheid in wat er precies te bewijzen is. Afhankelijk van het niveau van de vraag moet je bepaalde zaken bewijzen en andere niet.

Ach ja, in het algemeen: beter te veel dan te weinig toch?

.

extremefun1

Bedankt voor jullie mening. Interessante argumenten

Ach ja, in het algemeen: beter te veel dan te weinig toch? .

Dat is het probleem juist. Mijn leraar op het vwo liet me weten dat te veel informatie geven je punten kan kosten op het examen.

JWvdVeer

Mijn leraar op het vwo liet me weten dat te veel informatie geven je punten kan kosten op het examen.

Lijkt me stug. Als je gewoon logische implicaties doet, denk ik dat niemand er een probleem van gaat maken.

In kader van deze opdracht zou je het volgens mij heel compleet zo op kunnen lossen:

\(\left\begin{array}{l} AB = BC = CD = AD \\ DQ = \frac{1}{2}CD \\ DR = \frac{1}{2}AD \\ AR = \frac{1}{2}AD \\ AP = \frac{1}{2}AB \end{array}}\right\} DQ = DR = AR = AP \rightarrow (QR = \sqrt{DQ² + DR²}) = (PR = \sqrt{AR² + AP²})\)

Gezien QR = PR geldt dat PQR een gelijkbenige driehoek is (zz).

Dat is dus het eerste deel van je bewijs.

Het tweede deel kun je dan met je tangens of zo bewijzen. Wat je wilt...

Lijkt me stug dat ze voor het bovenstaande voorbeeld je af zouden rekenen op te veel info...

simon333

Dat is het probleem juist. Mijn leraar op het vwo liet me weten dat te veel informatie geven je punten kan kosten op het examen.

Volgens mij zeggen ze dit zodat je rechtstreeks antwoord geeft en niet rond de pot draait, wat meestal wil zeggen dat je niet 100% weet wat het antwoord is. Maar of je nu dit extra stukje bewijs erbij vermeldt of niet zal volgens mij niet veel uitmaken, omdat de leerkracht wel door zal hebben dat jij je leerstof kent (van dit stukje bewijs toch).

Natuurlijk weet ik niet hoe streng die leerkracht is

grtz,

Simon

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde

Re: Vraag over bewijs in de vlakke meetkunde