Springen naar inhoud

Permutatiesymbool



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 14:41

Hallo!

Ik vond daarstraks weer zo'n enorm tof stukje tekst in mijn cursus dat ik niet snap.

permutatie.jpg

Het eerste deel van het probleem is dat ik niet snap hoe je daar juist mee werkt. Eén van de toepassingen is bijvoorbeeld de definitie van de determinant van een matrix:

LaTeX

Ik snap dat je steeds werkt met elementen op dezelfde diagonaal, en dat je deze optelt (want 2 keer dezelfde index, dus sommatie), maar hoe doe je dat met dat permutatiesymbool? Moet je die indices aanpassen zodat alles erachter in dezelfde volgorde staat?

Het tweede deel van het probleem is dat ik het "bewijs" van die eigenschap niet snap... Wat waarschijnlijk te maken heeft met dat ik heel het permutatiesymbool niet goed snap. Ook niet na Wiki-opzoekwerk, trouwens.
Vroeger Laura.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Lucas N

    Lucas N


  • >100 berichten
  • 222 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 15:45

In het geval van een 3x3-matrix LaTeX , waar de indices r en s dus 1,2 of 3 kunnen zijn, zegt je formule dat
LaTeX .
Hier moet je inderdaad over alle (27) mogelijke combinaties sommeren.
Nu is die LaTeX een tensor (een soort 3-dimensionale matrix) bestaande uit 3*3*3 getallen, waarvan de meeste nul zijn: LaTeX , omdat 2 indices gelijk zijn.
Als de 3 indices verschillend zijn is LaTeX gelijk aan 1 of -1.
LaTeX per definitie, maar LaTeX omdat je 213 krijgt na 1 (=oneven) permutatie van 123. Nog een permutatie van indices geeft weer een 1: LaTeX .
Omdat de meeste LaTeX nul zijn hoef je slechts te sommeren over 6 combinaties 123, 132, 213, 231, 312, 321 . (3 even, 3 oneven).

ps: Ik zou LaTeX geen permutatie-symbool noemen, maar een volledig anti-symmetrische tensor.
daarmee wordt bedoeld dat LaTeX overgaat in min zichzelf bij een verwisseling van 2 indices:
LaTeX etc.
samen met LaTeX , volgen alle eigenschappen.
bijv LaTeX , dus LaTeX

succes verder.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 19:26

ps: Ik zou LaTeX

geen permutatie-symbool noemen, maar een volledig anti-symmetrische tensor.

Het heet nochtans gewoon "permutatiesymbool", ook wel "Levi-Civita symbool".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 augustus 2010 - 19:47

In het geval van een 3x3-matrix LaTeX

, waar de indices r en s dus 1,2 of 3 kunnen zijn, zegt je formule dat
LaTeX .
Hier moet je inderdaad over alle (27) mogelijke combinaties sommeren.
Nu is die LaTeX een tensor (een soort 3-dimensionale matrix) bestaande uit 3*3*3 getallen, waarvan de meeste nul zijn: LaTeX , omdat 2 indices gelijk zijn.
Als de 3 indices verschillend zijn is LaTeX gelijk aan 1 of -1.
LaTeX per definitie, maar LaTeX omdat je 213 krijgt na 1 (=oneven) permutatie van 123. Nog een permutatie van indices geeft weer een 1: LaTeX .
Omdat de meeste LaTeX nul zijn hoef je slechts te sommeren over 6 combinaties 123, 132, 213, 231, 312, 321 . (3 even, 3 oneven).

ps: Ik zou LaTeX geen permutatie-symbool noemen, maar een volledig anti-symmetrische tensor.
daarmee wordt bedoeld dat LaTeX overgaat in min zichzelf bij een verwisseling van 2 indices:
LaTeX etc.
samen met LaTeX , volgen alle eigenschappen.
bijv LaTeX , dus LaTeX

succes verder.


Bedankt voor je uitleg! Maar ik ben nog niet helemaal mee vrees ik...

Je hebt dus je permutatiesymbool als tensor, is het dan de bedoeling dat je gaat kijken in welke volgorde de factoren achter het symbool staan, en dat je vermenigvuldigt met hetgeen er op die plaats in de tensor staat?

Bijvoorbeeld:

LaTeX

LaTeX

Voor het eerste stond i_2 achter i_1 => geen permutatie => permutatiesymbool = 1.
Voor het tweede stond i_1 achter i_2 => ťťn permutatie => permutatiesymbool = - 1
Vroeger Laura.

#5

Lucas N

    Lucas N


  • >100 berichten
  • 222 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2010 - 11:47

@TD Ik kende die naam "permutatiesymbool" niet.

Laura, volgens mij doe je het goed. Met wat tussenstappen:

LaTeX

met LaTeX geeft dit:
LaTeX

succes

#6

sweetsunray

    sweetsunray


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2012 - 12:20

Bedankt voor de vraag en de antwoorden. Viel net over exact hetzelfde deel van de cursus Wiskunde II voor de Fysica. Ik begreep niet eens goed hoe de bepaling 1 en -1 werd gemaakt. Maar nu snap ik het wel. En ja, eigenschap wordt uitgelegd a.h.v. een tensor. De tensor wordt behandeld in 4.6 van het hoofdstuk Matrices.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures