[wiskunde] Permutatiesymbool

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 25-08-'10, 15:41

Tudum

Berichten: 412

Permutatiesymbool

Hallo!

Ik vond daarstraks weer zo'n enorm tof stukje tekst in mijn cursus dat ik niet snap.
permutatie.jpg
permutatie.jpg (23.19 KiB) 275 keer bekeken
Het eerste deel van het probleem is dat ik niet snap hoe je daar juist mee werkt. Eén van de toepassingen is bijvoorbeeld de definitie van de determinant van een matrix:
\(det(\mathcal{A}) = A = e_{i_1 \cdots i_n} a_{i_11} a_{i_22} \cdots a_{i_nn}\)
Ik snap dat je steeds werkt met elementen op dezelfde diagonaal, en dat je deze optelt (want 2 keer dezelfde index, dus sommatie), maar hoe doe je dat met dat permutatiesymbool? Moet je die indices aanpassen zodat alles erachter in dezelfde volgorde staat?

Het tweede deel van het probleem is dat ik het "bewijs" van die eigenschap niet snap... Wat waarschijnlijk te maken heeft met dat ik heel het permutatiesymbool niet goed snap. Ook niet na Wiki-opzoekwerk, trouwens.
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 16:45

Lucas N

Berichten: 225

Re: Permutatiesymbool

In het geval van een 3x3-matrix
\( A_{rs} \)
, waar de indices r en s dus 1,2 of 3 kunnen zijn, zegt je formule dat
\( det(A)= e_{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k} \)
.

Hier moet je inderdaad over alle (27) mogelijke combinaties sommeren.

Nu is die
\( e_{ijk} \)
een tensor (een soort 3-dimensionale matrix) bestaande uit 3*3*3 getallen, waarvan de meeste nul zijn:
\( e_{113}=0 \)
, omdat 2 indices gelijk zijn.

Als de 3 indices verschillend zijn is
\( e_{ijk} \)
gelijk aan 1 of -1.
\( e_{123}=1 \)
per definitie, maar
\( e_{213}=-1 \)
omdat je 213 krijgt na 1 (=oneven) permutatie van 123. Nog een permutatie van indices geeft weer een 1:
\( e_{231}=1 \)
.

Omdat de meeste
\( e_{ijk} \)
nul zijn hoef je slechts te sommeren over 6 combinaties 123, 132, 213, 231, 312, 321 . (3 even, 3 oneven).

ps: Ik zou
\( e_{ijk} \)
geen permutatie-symbool noemen, maar een volledig anti-symmetrische tensor.

daarmee wordt bedoeld dat
\( e_{ijk} \)
overgaat in min zichzelf bij een verwisseling van 2 indices:
\( e_{ijk} = - e_{jik} \)
etc.

samen met
\( e_{123}=1 \)
, volgen alle eigenschappen.

bijv
\( e_{122}=-e_{122}\)
, dus
\( e_{122}=0\)
succes verder.
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 20:26

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Permutatiesymbool

ps: Ik zou
\( e_{ijk} \)
geen permutatie-symbool noemen, maar een volledig anti-symmetrische tensor.
Het heet nochtans gewoon "permutatiesymbool", ook wel "Levi-Civita symbool".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-08-'10, 20:47

Tudum

Berichten: 412

Re: Permutatiesymbool

Lucas N schreef:In het geval van een 3x3-matrix
\( A_{rs} \)
, waar de indices r en s dus 1,2 of 3 kunnen zijn, zegt je formule dat
\( det(A)= e_{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k} \)
.

Hier moet je inderdaad over alle (27) mogelijke combinaties sommeren.

Nu is die
\( e_{ijk} \)
een tensor (een soort 3-dimensionale matrix) bestaande uit 3*3*3 getallen, waarvan de meeste nul zijn:
\( e_{113}=0 \)
, omdat 2 indices gelijk zijn.

Als de 3 indices verschillend zijn is
\( e_{ijk} \)
gelijk aan 1 of -1.
\( e_{123}=1 \)
per definitie, maar
\( e_{213}=-1 \)
omdat je 213 krijgt na 1 (=oneven) permutatie van 123. Nog een permutatie van indices geeft weer een 1:
\( e_{231}=1 \)
.

Omdat de meeste
\( e_{ijk} \)
nul zijn hoef je slechts te sommeren over 6 combinaties 123, 132, 213, 231, 312, 321 . (3 even, 3 oneven).

ps: Ik zou
\( e_{ijk} \)
geen permutatie-symbool noemen, maar een volledig anti-symmetrische tensor.

daarmee wordt bedoeld dat
\( e_{ijk} \)
overgaat in min zichzelf bij een verwisseling van 2 indices:
\( e_{ijk} = - e_{jik} \)
etc.

samen met
\( e_{123}=1 \)
, volgen alle eigenschappen.

bijv
\( e_{122}=-e_{122}\)
, dus
\( e_{122}=0\)
succes verder.
Bedankt voor je uitleg! Maar ik ben nog niet helemaal mee vrees ik...

Je hebt dus je permutatiesymbool als tensor, is het dan de bedoeling dat je gaat kijken in welke volgorde de factoren achter het symbool staan, en dat je vermenigvuldigt met hetgeen er op die plaats in de tensor staat?

Bijvoorbeeld:
\( \mathcal{A} = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \)
\(\begin{align*} A &= e_{i_1, i_2} a_{i_11} a_{i_22} \\ &= a_{11} . a_{22} - a_{21}.a_{12} \\ &= ad - bc \end{align}\)
Voor het eerste stond i_2 achter i_1 => geen permutatie => permutatiesymbool = 1.

Voor het tweede stond i_1 achter i_2 => één permutatie => permutatiesymbool = - 1
Vroeger Laura.
Omhoog

Bericht 26-08-'10, 12:47

Lucas N

Berichten: 225

Re: Permutatiesymbool

@TD Ik kende die naam "permutatiesymbool" niet.

Laura, volgens mij doe je het goed. Met wat tussenstappen:
\( e_{ij}A_{i1}A_{j2}= e_{11}A_{11}A_{12} + e_{12}A_{11}A_{22} +e_{21}A_{21}A_{12} +e_{22}A_{21}A_{22} \)
met
\( e_{11}=e_{22}=0 , e_{12}=1, e_{21}=-1\)
geeft dit:
\( det(A) = A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12} \)
succes
Omhoog

Bericht 16-08-'12, 13:20

sweetsunray

Berichten: 9

Re: Permutatiesymbool

Bedankt voor de vraag en de antwoorden. Viel net over exact hetzelfde deel van de cursus Wiskunde II voor de Fysica. Ik begreep niet eens goed hoe de bepaling 1 en -1 werd gemaakt. Maar nu snap ik het wel. En ja, eigenschap wordt uitgelegd a.h.v. een tensor. De tensor wordt behandeld in 4.6 van het hoofdstuk Matrices.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”