Onduidelijkheid booglengte van een ruimtekromme

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.963

Onduidelijkheid booglengte van een ruimtekromme

Ik ben bezig met enkele oefeningen te maken met betrekking tot het berekenen van booglengten.

Nu is het volgende gegeven:



Bereken de booglengte van de kromme, die de doorsnede is van volgende twee oppervlakken:

\(\left\{ \begin{array}{rcl} x^2=y\\y=z - 1\end{array}\right.\)
Tussen de punten (0,0,1) en (1,1,2)

Nu doe ik het volgende:

De kromme die we zoeken is dus: z = x² +1
\(ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\)
vervolgens:
\((\frac{ds}{dx})^2=1+(\frac{dy}{dx})^2+(\frac{dz}{dx})^2\)
en dan:
\(\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2+(\frac{dz}{dx})^2}\)
wat aanleiding geeft tot:
\(ds=\int_0^1{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2+(\frac{dz}{dx})^2}dx}\)
Tot hier heb ik geen probleem, maar:
\(\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dz}{dx}=2x\\ \frac{dy}{dx}=0\end{array}\right.\)
Als ik hiermee verder werk bekom ik voor de integraal:
\(\int_0^1{\sqrt{1+4x^2}dx}\)
In mijn notities heb ik staan dat het immers
\(\int_0^1{\sqrt{1+8x^2}dx}\)
moet zijn.

Vanwaar dit verschil? In het laatste geval lijkt de extra 4x² afkomstig van de parabolische cilinder in de opgave (x²=y), maar die doet er toch niet meer toe? Je berekent
\(\frac{dy}{dx}\)
toch via je gevonden kromme?

Ps: voor de verdere uitwerking van de integraal kan ik wel verder.

Alvast bedankt!
"Success is the ability to go from one failure to another with no loss of enthusiasm" - Winston Churchill

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Onduidelijkheid booglengte van een ruimtekromme

z=x²+1 is niet je uiteindelijke kromme; het is een vlak.

Hoe kom je nu aan
\(\frac{dy}{dx}=0\)
?

Die haal je normaal gezien uit de beschrijving van je kromme, in dit geval gewoon de opgave:
\(\left\{ \begin{array}{rcl} x^2=y\\y=z - 1\end{array}\right.\)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 3.963

Re: Onduidelijkheid booglengte van een ruimtekromme

Hoe kom je nu aan
\(\frac{dy}{dx}=0\)
?
Had ik gewoon uit het differentiëren van het vlak z=x²+1.

Als je hiervan dy/dx berekent moet die toch 0 zijn want er is geen y aanwezig in de functie.
z=x²+1 is niet je uiteindelijke kromme; het is een vlak.
Als je de doorsnede van een cilinder bekijkt met een vlak loodrecht op de cilinder krijg je een cirkel

Als je de doorsnede van een cilinder bekijkt met een vlak schuin op de cilinder krijg je een ellips

Dus als je de doorsnede van een parabolische cilinder bekijkt met een vlak krijg je toch ook een of andere kromme?

Je hebt wel gelijk dat z=x²+1 een vlak is in 3D

Enig idee waarom ik deze verwarring zie?
"Success is the ability to go from one failure to another with no loss of enthusiasm" - Winston Churchill

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Onduidelijkheid booglengte van een ruimtekromme

Gegeven: y= x²

Reageer