Onduidelijkheid booglengte van een ruimtekromme
Geplaatst: di 31 aug 2010, 12:11
Ik ben bezig met enkele oefeningen te maken met betrekking tot het berekenen van booglengten.
Nu is het volgende gegeven:
Bereken de booglengte van de kromme, die de doorsnede is van volgende twee oppervlakken:
Nu doe ik het volgende:
De kromme die we zoeken is dus: z = x² +1
Vanwaar dit verschil? In het laatste geval lijkt de extra 4x² afkomstig van de parabolische cilinder in de opgave (x²=y), maar die doet er toch niet meer toe? Je berekent
Ps: voor de verdere uitwerking van de integraal kan ik wel verder.
Alvast bedankt!
Nu is het volgende gegeven:
Bereken de booglengte van de kromme, die de doorsnede is van volgende twee oppervlakken:
\(\left\{ \begin{array}{rcl} x^2=y\\y=z - 1\end{array}\right.\)
Tussen de punten (0,0,1) en (1,1,2)Nu doe ik het volgende:
De kromme die we zoeken is dus: z = x² +1
\(ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\)
vervolgens:\((\frac{ds}{dx})^2=1+(\frac{dy}{dx})^2+(\frac{dz}{dx})^2\)
en dan:\(\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2+(\frac{dz}{dx})^2}\)
wat aanleiding geeft tot:\(ds=\int_0^1{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2+(\frac{dz}{dx})^2}dx}\)
Tot hier heb ik geen probleem, maar:\(\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{dz}{dx}=2x\\ \frac{dy}{dx}=0\end{array}\right.\)
Als ik hiermee verder werk bekom ik voor de integraal:\(\int_0^1{\sqrt{1+4x^2}dx}\)
In mijn notities heb ik staan dat het immers \(\int_0^1{\sqrt{1+8x^2}dx}\)
moet zijn.Vanwaar dit verschil? In het laatste geval lijkt de extra 4x² afkomstig van de parabolische cilinder in de opgave (x²=y), maar die doet er toch niet meer toe? Je berekent
\(\frac{dy}{dx}\)
toch via je gevonden kromme?Ps: voor de verdere uitwerking van de integraal kan ik wel verder.
Alvast bedankt!
