Ik heb gisteren examen gehad, en ik zou graag willen weten of mijn antwoord op één van de vragen correct is. Omdat ik mijn punten wil kunnen inschatten, én om te weten wat ik fout doe, als er fouten in staan. Want het stomme aan examens is dat je er weinig uit leert, terwijl daar meestal juist iets "leukere" oefeningen op staan.
Ik heb dat als volgt opgelost:Bewijs volgende gelijkheid in een carthesisch assenstelsel:
\((\vec A \cdot \vec \nabla) (\vec \nabla \phi) + (\vec \nabla \phi \cdot \vec \nabla)\vec A + (\vec \nabla \phi) \times (\vec \nabla \times \vec A) + (\vec \nabla \phi)(\vec \nabla \cdot \vec A) + \phi(\vec \nabla(\vec \nabla \cdot \vec A)) = \vec \nabla(\vec \nabla \cdot (\phi \vec A))\)met\(\phi\)een functie en\(\vec A\)een vectorveld.
\( \begin{align*} \vec \nabla (\vec \nabla \cdot (\phi \vec A)) &= \vec \nabla \left(\frac{\partial}{\partial x_i} (\phi A_i)\right)\\&= \vec \nabla \left(\vec A . \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \vec e_i + \phi \frac{\partial A_i}{\partial x_i}\right\)\\&= \frac{\partial \phi}{\partial x_i} e_i \frac{\partial A}{\partial x_j} e_j + A \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i \partial x_j} \vec e_i \vec e_j + \frac{\partial A_i}{\partial x_i} \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \vec e_j + \phi \frac{\partial^2 A_i}{\partial x_j \partial x_i} \vec e_j\\&= (\vec \nabla \phi)\cdot(\vec \nabla A) + A \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i \partial x_j} \vec e_i \vec e_j + (\vec \nabla \cdot \vec A) (\vec \nabla \phi) + \phi (\vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec A))\end{align}\)
De twee laatste termen van bovenstaande vergelijking zijn de twee laatste termen van het linkerlid van de opgave, dus die zijn oké. Dan, uitwerken van het vectorieel product uit het linkerlid van de opgave:\( \begin{align*}(\vec \nabla) \times (\vec \nabla \times \vec A) &= e_{ijk} (\vec \nabla \phi)_i (\vec \nabla \times \vec A)_j \vec a_k\\&= e_{ijk} \frac{\partial \phi}{\partial x_i} e_{lmj} \frac{\partial}{\partial x_l} A_m \vec a_k\\&= - (\delta_{ik} \delta_{km} - \delta_{im} \delta{kl}) \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_l} A_m \vec a_k\\&= - \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_i} A_m \vec a_m + \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_l} A_i \vec a_l\\&= - \vec \nabla (\vec \nabla \phi) \vec A + (\vec \nabla \phi)\cdot(\vec \nabla A) \end{align}\)
De tweede term van bovenstaande vergelijking is de eerste van de vorige, dus dat is ook al in orde. Met wat gepuzzel komt de eerste term van hierboven overeen met het tegengestelde van eerste term van de opgave... Is dat juist? Zoja: dan vallen die twee termen weg?... Wat er dan voor zorgt dat
\(A \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i \partial x_j} \vec e_i \vec e_j\)
gelijk is aan de tweede term van de opgave... Maar dat.. hmm... Het ziet er zo niet al te goed uit 
Iemand verbetering?
/ dat is mss wat veel gevraagd. 