Springen naar inhoud

Euclides propositie vii:30


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Didius

    Didius


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 september 2010 - 18:18

Ik heb een vraag met betrekking tot een bewijs:
In dit bewijs staat op een bepaald ogenblik:

LaTeX

Maar mag dit zomaar?
Ik veronderstel dat een betere onderbouwing is:
LaTeX of LaTeX
Maar dan nog steun dan op iets denk ik. Is dat op het lemma van Euclides, of die propositie VII:30?

En hoe schrijf je zoiets best op? Is dat mogelijk die hulpstelling te bewijzen? Ik heb al wat zitten opzoeken op het net, maar ik kan niets begrijpbaar terugvinden.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 september 2010 - 19:14

Je wil dus tonen dat als a≤ even is, dan ook a. Bewijs door contrapositie; als a oneven is (stel a = 2n+1), dan ook a≤ (a≤ = ...).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Didius

    Didius


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 september 2010 - 19:24

Ik wil het op een manier doen die ook werkt voor
LaTeX , enz. Voor alle priemgetallen dus...

#4

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 september 2010 - 19:35

Als p een priemgetal is en p deelt een product ab van natuurlijke getallen, dan is p een deler van a of b (zie ook hierboven). Deze eigenschap werd bewezen door Euclides en is bekend als Het lemma van Euclides.

Kies b = a. Als p | a*a dan is p | a of p | a.

Deze werkt voor alle priemgetallen. Alleen weet ik niet of dit dezelfde propositie is als waarvan je nu in het bewijst aan het kijken bent...

Edit: je kan dit inzien door unieke factorisatie te gebruiken. Maar ik weet niet of het bewijs voor unieke factorisatie deze propositie gebruikt. Zo niet, beeld je dan in dat als je a en b priemfactoriseert, dat dan de priemfactorisatie van a*b gewoon die van a en b bijelkaar geraapt is. (gevolg van communicativiteit van vermenigvuldigin (x*y = y*x)). Als je dit weet, dan is als p priem is en p | a, dan komt p voor als factor in de priemfactorisatie van a*b. Omdat de priemfactorisatie van a*b de bijeenraping is van die van a en b, moet p ofwel uit a ofwel uit b afkomstig zijn. Dat a = b maakt hierbij niet uit. Sterker nog, als p | a2, dan p | a, en dus p2 | a2. /edit

Trouwens nog een leuke alleen voor 2:

Als p een priemgetal is en a is een willekeurig geheel getal, dan is ap − a deelbaar door p (kleine stelling van Fermat).

Dus 2 | a2 - a.
Dus 2 | a2 <=> 2 | a.

Als je hier de 2 in 3 wil veranderen moet je de exponent meeveranderen. ;)

Veranderd door Erik Leppen, 05 september 2010 - 19:39


#5

Didius

    Didius


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 september 2010 - 19:57

Ik druk me eigenlijk wat onhandig uit, het is niet echt duidelijk wat de vraag precies is veronderstel ik.


Als je nu weet dat LaTeX (met LaTeX ) deelbaar is door 2 (of een ander priemgetal) is het volgende dan correct uitgeschreven?

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Als dit correct is vraag ik me af of het mogelijk is die verwijzing naar dat lemma te vervangen door een bewijs.
Kan iemand dit bewijs dan verstaanbaar geven?


In plaats van die 2 zou elk ander priemgetal dus ook moeten erin passen.

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 september 2010 - 23:21

Kan iemand dit bewijs dan verstaanbaar geven?

Stel dat 2 geen deler is van a, dan is ze automatisch geen deler van a^2. (*)
Hieruit volgt dat als 2 een deler is van a^2, dat ze ook een deler is van a.

(*)Deze stap kun je strikter bewijzen door te kijken naar de splitsing in priemfactoren.
Een priemgetal p is geen deler van a. Dus de priemfactoren van p zijn niet allemaal terug te vinden in a. P is een priemgetal, dus p is niet terug te vinden in a. P is dus ook niet terug te vinden in de priemfactorontbinding van a^2. p is dus geen deler van a^2

De techniek noemt men contrapositie.
Dit lijkt me een vrij elegant en eenvoudig te begrijpen bewijsje. Ben ik wel trots op zo laat op de avond ;)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures