Driehoek

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 08-09-'10, 19:24

lucca

Berichten: 758

Driehoek

Zij
\( D \)
de verzameling van alle driehoeken in het vlak
\( V \)
/ Zij
\(z : D --> V \)
de afbeelding die aan elke driehoek zijn zwaartepunt (snijpunt van de drie zwaartelijnen) toekent. Is
\( z \)
injectief? Is
\( z \)
surjectief?

Ik dacht het volgende :

Ja, z is surjectief, want elke driehoek (ongeacht de vorm) kent een zwaartepunt, dus voldoet voor alle driehoeken.

Nee, z is niet injectief, want er bestaan twee verschillende driehoeken bijv (0,0) , (1,0) , (0,1) én (0,0) , (1,0) , (0,2) die niet gelijk zijn maar wel beide het zwaartepunt in (0,0) hebben liggen. Dus niet injectief.

Kan iemand dit bevestingen of ontkrachten? bvd!
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 19:45

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Driehoek

Wat betekent --> in de tweede? Bedoel je dat uit D het vlak V volgt (V afbeelding van D)? Dus één waarde voor elke invoer in D?

Wellicht helpt verheldering van de vraag. Ik zie namelijk niet in wat die V in de tweede doet... ](*,)
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 19:51

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

jep, D-> V V is beeld van D
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 19:56

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Driehoek

Wat betekent --> in de tweede?
'een' afbeelding van D naar V. En welke afbeelding het is wordt later gespecificeerd.
Ja, z is surjectief, want elke driehoek (ongeacht de vorm) kent een zwaartepunt, dus voldoet voor alle driehoeken.
Volgens mij is de redenering eerder dat er voor elk punt dat je kan bedenken ook wel een driehoek bestaat, die dat punt als zwaartepunt heeft.

Voor de rest ben ik het met je eens. 2 driehoeken kunnen inderdaad hetzelfde zwaartepunt hebben zodat het geen injectie meer kan zijn.
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:07

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

Dus je neemt als uitgangspunt de punten ipv driehoeken (voor surject.)

Trouwens nu ik toch bezig ben :

zij
\( f : R -> R \)
gegeven door :
\( f(x) = x^2 -2x \)
Vind dan een zo groot mogelijk interval
\( I_+ \subset R \)
zodat dat
\(2 \in I_+ \)
en
\( f|_{I_{+}} \)
is injectief.

Ik dacht als volgt :

injectief, dus het mag niet zo zijn dat er twee verschillende x-waardes zijn met de zelfde y-waarde. Voor de functie impliceert dat dat hoogstens de helft kan meedoen. (even functie). Omdat 2 een element is van I, betekent dat, dat we de ''rechter'' helft moeten pakken. Het interval moet overigens positief zijn , dus ik dacht :
\( [1, \infty) \)
Kan iemand dit bevestigen?
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:13

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Driehoek

Dus je neemt als uitgangspunt de punten ipv driehoeken (voor surject.)
Voor een afbeelding h:A->B geldt dat het om een surjectie gaat als elk element van B het beeld is van een element in A.

Stel dat je dan van f:R->R hebt met f(x) = x², dan heb je geen surjectie omdat f(x) voor elke x positief zal zijn en de negatieve getallen dus nergens een beeld van zijn.
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:14

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Driehoek

Kan iemand dit bevestigen?
Ik ben het met je eens. Vanuit de ABC-formule geldt namelijk dat
\(\frac{-b}{2a} = 1\)
en alle waarden die daar boven of daaronder liggen kunnen. Gezien de voorwaarde dat 2 onderdeel van de verzameling uit moet maken kun je dus enkel nog maar
\( [1, \infty) \)
hebben.

Wat ik me wel afvraag is wat de notatie van I+ betekent. Alleen positieve getallen uit de verzameling o.i.d.?
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:15

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Driehoek

trokkitrooi schreef:Ik dacht als volgt :

injectief, dus het mag niet zo zijn dat er twee verschillende x-waardes zijn met de zelfde y-waarde. Voor de functie impliceert dat dat hoogstens de helft kan meedoen. (even functie). Omdat 2 een element is van I, betekent dat, dat we de ''rechter'' helft moeten pakken. Het interval moet overigens positief zijn , dus ik dacht :
\( [1, \infty) \)
Kan iemand dit bevestigen?
daar ben ik het mee eens.
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:17

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Driehoek

In dit geval kunnen we volgens mij ook stellen dat het voor dit domein we kunnen spreken van bijectie, of heb ik dat nu fout?
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:20

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Driehoek

In dit geval kunnen we volgens mij ook stellen dat het voor dit domein we kunnen spreken van bijectie, of heb ik dat nu fout?


De surjectiviteit gaat hier niet op. -10 ligt wel in de uitgangsverzameling R, maar is geen beeld van een element in I+ (of zelfs R)
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:22

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

Dank! En als de vraagstelling nu verandert naar :

Vind een zo groot mogelijk interval
\( I_- \subset R \)
zodanig dat
\( 0 \in I_- \)
en
\( f|_{I_{-}} \)
is injectief.

Dan is het interval :
\( (- \infty, 1] \)
\( I_+ \)
: die +, ik zou het niet weten, betekent dat, dat het interval >0 dus
\( I_- \)
<0 moet zijn?

Of is dat gewoon een ''formele'' notatie, ''zonder'' betekenis.
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:28

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Driehoek

Of is dat gewoon een ''formele'' notatie, ''zonder'' betekenis.


Je kan de - en de + zien als de kant van de reële getallen-as waar het interval voornamelijk gelegen is en dan is het een beetje een hint, maar het hoeft niet per se iets te betekenen, je kan een interval in principe noemen zoals je wil.
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:32

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

Ok, echt super bedankt Xenion! (het 2de interval klopte toch?)

Verder is er ook nog een vraag:

Bepaal de inversen van
\( f|_{I_{+}} en f|_{I_{-}} \)
Bedoelen ze dan dat ik een inverse interval moet geven of de functie?

Ik denk inverse interval zijn gewoon de bijbehorende y-waardes en functie
\( x = \sqrt{y+1}+1 \)
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:37

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Driehoek

(het 2de interval klopte toch?)
Ja hoor.
Bedoelen ze dan dat ik een inverse interval moet geven of de functie?
De afbeelding die van I+ of I- terug naar R gaat (inverse functie dus).
\( x = \sqrt{y+1}+1 \)
is inderdaad één antwoord. Maar slechts van I+ of I-, dat moet je nog uitmaken.

Je werkt met kwadraten en vierkantswortels, dat betekent dat je aandachtig naar het + of - teken moet kijken, als je de functie herschrijft.
Omhoog

Bericht 08-09-'10, 20:42

lucca

Berichten: 758

Re: Driehoek

Dan krijg je voor

I+
\( x = \sqrt{y+1} +1 \)


en I-
\( x = -\sqrt{y+1} +1 \)


Als je een plotje maakt van
\( y = x^2-2x \)
en je ''draait'' deze een kwart, dan zie je ook dat de inverse klopt, tenminste dat vermoed ik ](*,)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”