Springen naar inhoud

Bewijs met mathematical induction


  • Log in om te kunnen reageren

#1

michielb

    michielb


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 september 2010 - 11:43

Hallo,

Ik moet woensdag een paar bewijzen inleveren maar één krijg ik niet af. Ik loop daar vast op de meest simpele stap.

Prove: For every n,m LaTeX N, (LaTeX (2k-1))LaTeX = LaTeX

Met Mathetical Induction kan ik bewijzen dat P(n): LaTeX (2k-1) = LaTeX waar is.
Dan doe ik beide kanten tot de macht m en krijg je: (LaTeX (2k-1))LaTeX = LaTeX
Dan blijft er nog 1 stap over, namelijk bewijzen dat LaTeX het zelfde is als LaTeX
Dit ziet er simpel uit en we weten allemaal dat het waar is, maar hoe bewijs ik het?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 september 2010 - 11:55

Wel opletten met de notatie:
LaTeX

Ben je zeker dat je deze regel ook moet bewijzen, aangezien dit een standaard rekenregel is?
Als je wil kan je deze ook met inductie aantonen, als je dan tenminste volgende regel mag aannemen:
LaTeX
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

michielb

    michielb


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 september 2010 - 12:24

Hallo,

Over de notatie heb je helemaal gelijk. Gelukkig staat het in mijn schrift wel goed maar ik ben net voor het eerst met latex bezig gegaan en kreeg die andere notatie zo snel niet goed.
En nu kan ik het niet meer wijzigen:(

Maar ter zake:p
Ik neem aan dat ik dat ook moet bewijzen omdat ze bij vraag a je laten bewijzen wat ik al bewezen heb. En dan is vraag b of dit dan ook waar is. Verder gelden bij ons geen standaard regels totdat je hem zelf bewezen hebt. Zo heb ik gisteren bewezen dat 5 + 0 = 5 en N + 0 = N haha.
Hoe heb je met die regel bewezen dat het klopt?

Veranderd door michielb, 12 september 2010 - 12:32


#4

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 september 2010 - 12:26

De vraag is onduidelijk: tot waar loopt de som? Kun je de LETTERLIJKE opgave geven? Ook pas je inductie verkeerd toe.
Quitters never win and winners never quit.

#5

michielb

    michielb


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 september 2010 - 12:30

De letterlijke opgave staat in de 3e regel van mijn eerste post.
Verder kun je helemaal niet zien hoe ik MI heb toegepast, er staat alleen: met MI heb ik bewezen dat dit waar is.

De vraag die resteert is, hoe bewijs ik dat n^(2m) het zelfde is als (n^2)^m?

#6

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 september 2010 - 12:41

De vraag die resteert is, hoe bewijs ik dat n^(2m) het zelfde is als (n^2)^m?


Je moet mijn laatste formule nog een beetje verder uitwerken. De macht 1 kan je weglaten, en de macht m kan je vereenvoudigen door je inductiehypothese. Schrijf dan alles weer als 1 macht en het is bewezen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 september 2010 - 12:49

De letterlijke opgave staat in de 3e regel van mijn eerste post.
Verder kun je helemaal niet zien hoe ik MI heb toegepast, er staat alleen: met MI heb ik bewezen dat dit waar is.

De vraag die resteert is, hoe bewijs ik dat n^(2m) het zelfde is als (n^2)^m?

Je bewijs klopt volgens mij niet. Je bewijst de formule voor m=1, maar je moet het nog bewijzen dat het geldt voor m+1 gegeven de inductieveronderstelling. Het bewijs voor m=1 is duidelijk, simpelweg een rekenkundige rij, maar je zegt op een gegeven moment "Dan doe ik beide kanten tot de macht m" en dat is geen bewijs.
Quitters never win and winners never quit.

#8

michielb

    michielb


  • >25 berichten
  • 37 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 september 2010 - 13:02

@dirk
Dat je met MI ook N+1 moet bewijzen weet ik.
Maar zoals er staat in de 4e regel heb ik al met MI bewezen dat de regel waar is. En verder staat mijn bewijs hier helemaal niet, hoe kun je dat zien dat die niet klopt?](*,)

Verder kan de tot de macht m kan wel gebruikt worden in een bewijs.
Als je moet bewijzen dat a^m = b^m en je eerst bewijst dat a=b mag je ook beide kanten tot de macht m doen.
De b staat hier voor n^2. dan staat er dus, (n^2)^m. dan hoef ik alleen nog maar aan te tonen dat (n^2)^m het zelfde is als n^2m

@zvdp
Bedankt, ik ga het eens proberen uit te werken! Ik post nog wel of het gelukt is:)

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 september 2010 - 17:56

Verder kan de tot de macht m kan wel gebruikt worden in een bewijs.
Als je moet bewijzen dat a^m = b^m en je eerst bewijst dat a=b mag je ook beide kanten tot de macht m doen.

Interessant dat je dat gebruikt, want ik kom er niet uit. Kan ik je bewijs zien? Voor m=1 kan je bewijzen dat het klopt via de somformule van een rekenkundige rij. Als ik de inductieveronderstelling gebruik (voor een zekere m) dan volgt er voor m+1:

LaTeX


Hoe moet je hier dan verder?
Quitters never win and winners never quit.

#10

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 september 2010 - 18:08

Volgens de opgave staat de macht buiten de som LaTeX
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#11

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 september 2010 - 18:10

@ZVDP: je hebt helemaal gelijk, ik heb eroverheen gelezen!


LaTeX

Dus het klopt!
Quitters never win and winners never quit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures