Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 13-09-'10, 00:21

motionpictures88

Berichten: 197

Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

Hallo,

Ik begrijp volgende relatie niet:
\( E[(\mu-\overline{X})^2]= \frac{\sigma²}{n}\)
waarin
\(\mu\)
het populatiegemiddelde,
\( \overline{X}\)
het steekproefgemiddelde,
\(\sigma\)
de standaarddeviatie en n het aantal steekproefwaarnemingen

Weet er iemand wat de redenering is om van het linker- naar het rechterlid te gaan?
Omhoog

Bericht 14-09-'10, 19:56

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

Ja, zie de definitie van standaarddeviatie... (in formulevorm).
Omhoog

Bericht 16-09-'10, 10:13

motionpictures88

Berichten: 197

Re: Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

Ik denk dat een goeie verklaring is:

De definite van de variantie voor een stochast X:
\(E[(X-\mu)²]=Var(X)\)
of
\(E[(X-E[X])²]=Var(X) \)
via de centrale limietstelling komen we voor de Var( steekproefgemiddelde X ) aan
\(E[(\mu-\overline{X})²]=Var(X)/n\)
Omhoog

Bericht 16-09-'10, 10:52

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

Je zou ook kunnen beginnen met:
\(E[(\mu - \overline{X})^2] = E[\mu^2 - 2 \mu \overline{X} + \overline{X}^2] = \mu^2 - 2 \mu E[\overline{X}] + E[\overline{X}^2]\)
Ik vermoed namelijk dat je de termen daarin ook wel eens eerder hebt gezien...
Omhoog

Bericht 16-09-'10, 12:08

motionpictures88

Berichten: 197

Re: Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

bedankt voor uw reactie!

Ik ken
\(E[X²]-E[X]²=Var(X)\)


Ik moet dus aantonen dat
\(\mu^2 - 2\mu E[\overline{X}] + E[\overline{X}^2]= \frac{E[X²]-E[X]²}{n}\)
Hoe kan ik hieraan beginnen?
Omhoog

Bericht 16-09-'10, 13:33

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Statistiek: toepassing definitie verwachtingswaarde

\(\overline{X} = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{n}\)
\(E[\overline{X}] = E[\sum_{k=1}^n \frac{X_k}{n}]\)
met de veronderstelling dat de samples onderling onafhankelijk zijn:
\(E[\overline{X}] = \sum_{k=1}^n \frac{E[X_k]}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{E[X]}{n} = E[X]\)


Voor \(\overline{X}^2\) is het iets lastiger, maar die mag je zelf proberen (vergeet niet dat je in principe het antwoord al weet, dus je kan een beetje naar elkaar toe werken).
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”