Rijtje2

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 758

Rijtje2

Zij
\( \left \{a_n \right \} \)
een rij met
\( a_n \to \pm \infty \)
, met
\( a_n \neq 0 \)
voor alle n, zij
\( \left \{b_n \right \} \)
een begrensde rij.

Te bewijzen :
\( a_n + b_n \to \pm \infty \)
bewijs :

Laat
\( \epsilon > 0 \)
, dan gezien
\( a_n \to \pm \infty \)
\( \forall n_0 \)
\( \exists m>n_0 : \vert a_m - a^*\vert \geq \epsilon \)
maar ook :
\( \exists n_1 \)
\(\forall n \geq n_1 : \vert b_n - b^* \vert < \epsilon \)
\( b_n \)
is namelijk begrensd, dus
\( b^* \)
is de limiet van
\( b_n \)
.

Verder merk ik op dat
\( a^* \)
natuurlijk niet ''echt'' bestaat, want er is geen limiet voor
\( a_n \)
.

Maar nu volgt :

kies
\( n_{max} = max(n_0,n_1) \)
dan, voor alle
\( n \geq n_{max} \)


nu weet ik niet heel goed hoe ik het bewijs moet afmaken. Ik moet er namelijk voor zorgen dat het altijd groter is dan epsilon, kan iemand helpen? ](*,)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

trokkitrooi schreef:Zij
\( \left \{a_n \right \} \)
een rij met
\( a_n \to \pm \infty \)
, met
\( a_n \neq 0 \)
voor alle n, zij
\( \left \{b_n \right \} \)
een begrensde rij.

Te bewijzen :
\( a_n + b_n \to \pm \infty \)
bewijs :

Laat
\( \epsilon > 0 \)
, dan gezien
\( a_n \to \pm \infty \)
\( \forall n_0 \)
\( \exists m>n_0 : \vert a_m - a^*\vert \geq \epsilon \)
maar ook :
\( \exists n_1 \)
\(\forall n \geq n_1 : \vert b_n - b^* \vert < \epsilon \)
\( b_n \)
is namelijk begrensd, dus
\( b^* \)
is de limiet van
\( b_n \)
.

Verder merk ik op dat
\( a^* \)
natuurlijk niet ''echt'' bestaat, want er is geen limiet voor
\( a_n \)
.

Maar nu volgt :

kies
\( n_{max} = max(n_0,n_1) \)
dan, voor alle
\( n \geq n_{max} \)


nu weet ik niet heel goed hoe ik het bewijs moet afmaken. Ik moet er namelijk voor zorgen dat het altijd groter is dan epsilon, kan iemand helpen? ](*,)
Maar dan :
\( \vert (a_n+b_n)-(a^*+b^*)\vert = \vert(a_n - a^*) + (b_n - b^*) \vert \)
\( \leq \vert a_n - a^* \vert + \vert b_n - b^* \vert > \epsilon + \epsilon > \epsilon \)
bewijs klaar. ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rijtje2

trokkitrooi schreef:Laat
\( \epsilon > 0 \)
, dan gezien
\( a_n \to \pm \infty \)
\( \forall n_0 \)
\( \exists m>n_0 : \vert a_m - a^*\vert \geq \epsilon \)
(...)

Verder merk ik op dat
\( a^* \)
natuurlijk niet ''echt'' bestaat, want er is geen limiet voor
\( a_n \)
.
Dat is wel een probleem natuurlijk, je werkt in je bewijs met een a* die niet bestaat...? Kijk de definitie van 'convergentie/divergentie' voor een rij die naar oneindig gaat eens na; is dat wat je hier gebruikt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

In mijn boek staat de volgende definitie :

Als :
\( \forall A \in R \)
,
\( \left \{a_n \right \} \)
niet convergeert naar A, dan is
\( \left \{a_n \right \} \)
divergent.

oftewel :

een rij
\( \left \{a_n \right \} \)
heeft geen eindige limiet A dan en slechts dan als er een
\( \epsilon \)
is, zodanig dat voor elke
\( n^* \)
een
\( m > n^* \)
is met
\( \vert a_m - A\vert \geq \epsilon \)
Voor mijn gevoel is hetgeen ik moet bewijzen logisch. Één begrensde rij en een oneindige rij. In principe tel je dus telkens iets op bij die toch al oneindige rij. Maar het is oneindig, dus het blijft oneindig.

Dus ik heb het idee dat ik iets moet bewijzen in de vorm van : er bestaat een epsilon groter dan nul zodanig dat er een m is die groter is dan een n^* waarvoor geldt dat de twee rijen bij elkaar opgeteld groter blijft dan epsilon. Maar dit is al waar voor een van de twee rijen. Dus dan zou je die andere rij erbij moeten zetten en dan laten zien dat het nog steeds groter is. Dat heb ik hierboven geprobeerd, maar lukte dus niet echt...

Iemand een mooie hint? ](*,)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rijtje2

Je definitie van divergentie is op deze manier heel algemeen, heb je niet iets specifieker voor een limiet die oneindig is? Je weet immers meer dan alleen dat de rij divergent is, het is een rij waarvan de absolute waarde naar oneindig gaat; van de somrij moet je dat ook tonen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

hmmm...

ja, het ''probleem'' is dat ik niet verder in het boek 'mag'' bladeren, maar bedoel je zoiets als :
\( \sum_{k=1}^{\infty}a_n = \pm \infty \)
en
\( \sum_{k=1}^{\infty}\vert a_n \vert = \infty \)
maar hoe kan ik dan zo verder? ](*,)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rijtje2

Het gaat hier niet om reeksen, het zijn nog gewone rijtjes (niks optellen).

Terzijde: de opgave is een beetje verwarrend, wat bedoelen ze met
\( a_n \to \pm \infty \)
? Dat je eigenlijk twee opgaven hebt (bewijzen voor +∞ en voor -∞), of dat er van a enkel gegeven is dat het naar +∞ óf -∞ gaat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

het idee is meer dan een rijtje dat onbegrensd is plus een rijtje dat begrensd is een rijtje is dat ook weer onbegrensd is...

hmm.. maar met wat ik in het begin al liet zien, kan ik dan niet laten zien dat er minstens een n* is en minstens een n groter dan die n* zodat je iets krijgt van epsilon + epsilon. dus dat het groter moet zijn dan epsilon?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rijtje2

Je definitie van onbegrensd rammelde, dus daar kon je niet mee verder. Vandaar dat ik me afvroeg of je daar een fatsoenlijke definitie voor gezien hebt... En wat er precies gevraagd is. Bijvoorbeeld:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = + \infty \Leftrightarrow \forall M \in \rr ,\exists N \in \nn : n > N \Rightarrow {a_n} > M\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

Dat had ik inderdaad nog niet, dankje daarvoor, maar dan wordt het :

gezien :
\( a_n \to \pm \infty \)


dan :
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = + \infty \Leftrightarrow \forall M \in \rr ,\exists N \in \nn : n > N \Rightarrow {a_n} > M\)


en gezien :
\( b_n \to b^* \)
dan :
\( \exists M \in \rr : \forall n \in \nn : |a_n| \leq M \)
kan ik hier wel mee verder?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rijtje2

Pas op, van b is enkel gegeven dat de rij begrensd is, niet dat de rij convergent is (en dus zekere b* als limiet heeft). Maar hiermee kan je inderdaad verder, de rij die ontstaat als rij met termen a(n)+b(n) kan je immers afschatten met behulp van de onder- en bovengrens van b.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

Pas op, van b is enkel gegeven dat de rij begrensd is, niet dat de rij convergent is (en dus zekere b* als limiet heeft). Maar hiermee kan je inderdaad verder, de rij die ontstaat als rij met termen a(n)+b(n) kan je immers afschatten met behulp van de onder- en bovengrens van b.
1. je weet dat
\( \forall n \in \nn : b_n \leq b^* \)
, maar dan
\( b^* = sup(b_n) \)
kun je dat zo zeggen?

2. en verder ook :
\( \forall n \in \nn : a_n + b_n > sup(b_n) \)
, want
\( \forall n \in \nn : a_n \neq 0 \)
opmerking : Ik ben nog niet zo bedreven in het verzinnen, laat staan, correct definieren van bewijzen, ik hoop dan ook niet dat ik u (TD) ,maar ook anderen teveel stoor. Ik hoop wel dat u (en anderen) mij stapsgewijs kunnen ondersteunen:)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Rijtje2

Die rij b is maar begrensd als er een onder- én een bovengrens is; m.a.w. bestaan er voor een begrensde rij b steeds reële getallen K en L zodat K < b(n) < L voor alle n. Je kan b ook symmetrisch begrenzen, er bestaat dan immers ook een positief reëel getal M zodat -M < b < M of nog: |b| < M.

Termen a(n)+b(n) van de rij a+b liggen dan sowieso tussen a(n)-M en a(n)+M, voor alle n. Nu is die M een constante en van het rijtje a(n) weet je dat...
opmerking : Ik ben nog niet zo bedreven in het verzinnen, laat staan, correct definieren van bewijzen, ik hoop dan ook niet dat ik u (TD) ,maar ook anderen teveel stoor. Ik hoop wel dat u (en anderen) mij stapsgewijs kunnen ondersteunen:)
Je stoort niet en de hulp die je vraagt, daar heb je denk ik (bijna) altijd op kunnen rekenen, toch...? ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

weet je dat die zeker niet begrensd is, dus kun je altijd wel een waarde a(n+1) vinden die groter is dan a(n) + M ...?

En dan is a_n + b_n niet begrensd... ?

* klopt, laat dat bijna maar weg;)

Berichten: 758

Re: Rijtje2

Is het iets in de vorm van :
\( \forall n \in \nn : -M \leq b_n \leq M \)
maar bij het rijtje a_n is er voor elke M een n te vinden die groter is dan M, dus :
\( \exists n \in \nn : -M \nleq a_n + b_n \nleq M \)
dan is a_n + b_n ook onbegrensd...

maar nu mis ik dus een nette notatie ...

Reageer