Divergent?

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-09-'10, 20:17

lucca

Berichten: 758

Divergent?

\( a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \)
\( a_0 = 1 \)
Ga na of de rij convergeert en bepaal de limiet indien deze bestaat.

Ik dacht aan het volgende :

de eerste uitkomsten zien er als volgt uit :
\( \left \{1,2,\frac{5}{2}, ... \right \}\)
Maar dat lijkt nogal sterk op :
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
En de harmonische reeks convergeert zeker niet, dus a_n ook niet! Kan iemand dit bevestigen? (of ontkrachten:P)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 12:04

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Divergent?

Ik weet niet of de aanpak correct is, maar ik kan in ieder geval mijn redenering geven.

De eerste term ken je. Met behulp van de recursieformule schrijf je
\(a_0, a_1, a_2,...\)
uit in functie van
\(a_0\)
Het (een) criterium voor de convergentie van een rij is dat de rij een Cauchyrij is. Met andere woorden, de opeenvolgende termen moeten willekeurig dicht bij elkaar komen te liggen als je maar ver genoeg gaat in de rij.

Als ik nu de rij van de aangroeien bekijk:
\(\frac{1}{1+\frac{1}{1}}, \frac{1}{2+\frac{1}{2}},...\)
Dan dalen die inderdaad, maar nu moeten we ook nog aantonen zeker dat die convergeren naar 0?

Als ik me niet vergis is de rij van de aangroeien
\(\frac{a_n}{a_n²+1}\)
En die lijkt te convergeren...

Maar van die laatste redenering ben ik niet zeker meer... Kan iemand dat bevestigen of verbeteren?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 12:11

lucca

Berichten: 758

Re: Divergent?

Een snel scriptje in R (statistisch progameertaal) geeft :

k<- 1

z<-1

while(k<1000) {

z<-z+1/z;

k<-k+1;

}

cat(z);

dan : z = 44,75687

bij k<10000

z = 141,4367

bij k<100000

z = 447.2197

bij k<800000

z= 1264.914

bij k<7000000

z = 3741.658

Lijkt dus niet begrensd (voor mijn gevoel)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 12:21

stemc2

Berichten: 27

Re: Divergent?

Stel dat deze rij wel convergeert naar L

Het linkerlid convergeert naar L.

Het rechterlid convergeert naar L+1/L.

Stel deze twee aan elkaar gelijk.

L = L + 1/L

0 = 1/L

0 = 1

Dit kan niet, dus deze rij convergeert niet.
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 12:44

lucca

Berichten: 758

Re: Divergent?

Zo zeg, dat klinkt wel erg aannemlijk, bovendien : nog nooit zó gezien.

wat je eigenlijk zegt is :

veronderstel dat :
\( \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_{n} + \frac{1}{a_n} \)
En indien ze convegeren moeten ze in hun ''staart'' equivalent zijn.

Maar dus :
\( L = L + \frac{1}{L} \)
geen oplossing...

mooie oplossing (denk ik), iemand anders?

Opmerking : een vergelijking met
\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
is dat een goede trouwens?
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 13:12

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Divergent?

Ja, het laatste deel van wat ik postte lijkt niet te kloppen...
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 14:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Divergent?

Inderdaad geen limiet want geen enkel reëel getal L voldoet aan L = L + 1/L.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 16:08

lucca

Berichten: 758

Re: Divergent?

Interessant!

Maar hoe kan ik zoiets nu netjes verwoorden (wiskundig)?

Ik had die 2 limieten aan elkaar gelijk gesteld, mag dat zo?

En dan met het argument dat in de staart a_n+1 = a_n (ongeveer)?

Bovendien, is:
\( a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^k} \)
met
\( k \in N^+ \)
dan ook divergent... toch?
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 16:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Divergent?

Als de rij met algemene term a(n) convergeert, dan ook de rij met termen a(n+1), dat is immers gewoon een verschuiving ook 1. Dus als a convergeert naar L, dan zal de limiet van zowel a(n) als van a(n+1) gelijk (moeten) zijn aan L. Maar zo is er geen L.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 16:28

lucca

Berichten: 758

Re: Divergent?

Dank, dat brengt me op ideeën :
\( a_{n+1} = 1 + \frac{a_n^2}{4} \)
met
\( a_0 = 1 \)
Maar dan ook :
\( \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a_n^2}{4}) \)
\( \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{4} \)
Stel het convergeert, dan is a_n ongeveer a_n+1 voor n heel groot, dus :
\( L = 1 + \frac{L^2}{4} \)
\( L^2 -4L +4 = 0 \)
Dus
\( L = 2 \)
(klopt ook in mathematica)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 16:39

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Divergent?

Ja, maar hiermee toon je alleen dat als de limiet bestaat, dat deze dan 2 moet zijn. Om volledig correct te zijn, moet je bewijzen dat de rij convergeert (dus een limiet heeft).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 18:09

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Divergent?

Hint: een stijgende rij met een bovengrens, is convergent.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-09-'10, 18:57

lucca

Berichten: 758

Re: Divergent?

1. dat stijgen sowieso , elke
\( a_{n+1} > a_n \)
want de term die erbij opgeteld wordt is voor elke waarde van n strikt groter dan 0.

2. en die bovengrens... hmm..
Omhoog

Bericht 19-09-'10, 13:16

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Divergent?

1. dat stijgen sowieso , elke
\( a_{n+1} > a_n \)
2. en die bovengrens... hmm..
Ga eens na wat er met een positieve startwaarde gebeurt die kleiner is dan 2.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”