Integraal van functie

Arie Bombarie

Goedendag,

Dit is alweer een tijdje geleden voor mij; bereken:

dx/dt = a * x(t)

Volgens mij kan dit met Laplace, ik heb echter geen idee meer hoe, ook met Wikipedia kom ik er niet uit.

Alvast bedankt.

TD

Als je x(t) niet kent, kan je het ook niet integreren... Tenzij je een integraal laat staan?

Arie Bombarie

Volgens mijn boek:

It can be shown that the unique solution is always: x(t) = e^(at) * x(t0)

TD

Beschouw dan x(t) als x en scheid de veranderlijken; dx/x integreren levert ln|x| en los dan op naar x.

ZVdP

Scheiding van veranderlijken lijkt me hier de makkelijkste methode.

Met Laplace gaat het natuurlijk ook, maar iets omslachtiger in dit geval.

Hierbij neem je de laplace transformatie van beide leden, gebruik makende van een aantal rekenregels.

Deze zijn degene die je hier nodig hebt:

\(L\{ax(t)\}=aX(s)\)

\(L\{\frac{dx(t)}{dt}\}=sX(s)-x_0\)

Je lost de vergelijking op naar X(s) en neemt de inverse laplace transformatie om x(t) te bekomen.

Arie Bombarie

Bedankt voor de antwoorden.

Nu ga je er dus vanuit dat x(t) = x, en dat bijvoorbeeld x(t) = x^2 niet het geval is.

dx/dt = a * x(t)

dx/dt = a * x

(1/x) dx = a * dt

Int (1/x)dx = a Int (1)dt

ln|x| + C = at

x = e^(at-C)

x = e^(at) * e^(-C)

e^(-C) is de waarde van x wanneer t gelijk is aan 0, dus de term e^(-C) kan worden vervangen door x(t0), daarom:

x = e^(at) * x(t0)

Dat bekent dan wel dat als er in mijn boek letterlijk staat:

1st order autonomous, homogeneous differential equation have the general form:

\(\dot{x}(t)=ax(t)\)

It can be shown that the unique solution is always:

\(x(t)=e^{at}x(t_{0})\)

Dat de notatie niet correct is, toch? Of blijkt uit dit verhaal ergens dat x(t) = x is?

ZVdP

x(t) is een notatie om duidelijk te maken dat x (enkel) afhankelijk is van t. Wanneer dat niet expliciet duidelijk gemaakt hoeft te worden kan je ook gewoon x schrijven.

Identiek zoals bij y(x) en y. In vele gevallen is het duidelijk dat y een functie is van x en schrijf je dus gewoon y. Wanneer je de x-afhankelijkheid wil benadrukken schrijf je y(x). Beide zijn dus gelijk.

TD

Nee hoor, dat is prima zo; het is dan ook dx(t)/dt = ...

Arie Bombarie

Hartelijk dank heren!

TD

Graag gedaan, succes!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integraal van functie

Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie

Re: Integraal van functie