E-macht

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 758

E-macht

Bepaal de limieten van de volgende rij :
\( b_n : = ( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} \)
\( x+4 = n \)
\( b_n : = (\frac{n+4}{n+3})^n \)
\( b_n : = (\frac{n+3+1}{n+3})^n \)
\( b_n : = (1+\frac{1}{x+3})^n \)
Nu kan ik dit oplossen door e^ln (en dan l'hopital) truc te gebruiken, maar volgens mij is dat in mijn opdracht niet de bedoeling. Is er nog een mooie definitie dat ik vanuit hier naar de einduitkomst kan?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: E-macht

Wat is nu precies de rij? Je bn lijkt te veranderen,
\(( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} \ \neq\ (\frac{n+4}{n+3})^n \)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: E-macht

Als je uitgaat van de bovenste term, daar kun je van maken:
\(( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} = ( \frac{n+4+4}{n+4} )^{n+4} = ( 1+\frac{4}{n+4} )^{n+4}\)
en die heeft uiteraard dezelfde limiet als
\((1+\frac{4}{n})^n\)
en die is wel bekend. (ter controle:
Verborgen inhoud
=e4, geen l'Hôpital voor nodig
)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 7.068

Re: E-macht

Bedoel je misschien het volgende?
\( b_n : = ( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} \)
\( b_n : = ( \frac{n+4+4}{n+4} )^{n+4} \)
\( b_n : = ( 1 + \frac{4}{n+4} )^{n+4} \)
\( b_n : = ( 1 + \frac{1}{\frac{n+4}{4}} )^{\frac{n+4}{4} \cdot 4} \)
\( b_x : = (( 1 + \frac{1}{x} )^{x})^4 \)

Berichten: 758

Re: E-macht

Grove typefout gemaakt, het betreft :
\( b_n : = (\frac{n+8}{n+7})^{n+4}\)
\( b_n : = (\frac{n+7+1}{n+7})^{n+4} \)
\( b_n : = (1 + \frac{1}{n+7})^{n+4} \)
in principe maakt die +7 en +4 niks uit, als b_n naar oneindig gaat, dus gewoon e

maar had dit ook gekund :
\( b_n : = (\frac{n+8}{n+7})^{n+4}\)
\( u = n+4 \)
\( b_{u-4} : = (\frac{u+4}{u+3})^{u}\)
\( b_{u-4} : = (1 + \frac{1}{u+3})^{u}\)
wederom, e?

Berichten: 7.068

Re: E-macht

\((1 + \frac{1}{u+3})^{u} = (1 + \frac{1}{u+3})^{u+3 -3}=(1 + \frac{1}{u+3})^{u+3} \cdot (1 + \frac{1}{u+3})^{-3} \rightarrow e \cdot 1 = e\)

Berichten: 758

Re: E-macht

oja, dank! ;)

en deze :
\( (1 + \frac{1}{n^2})^n \)
zou je dan iets kunnen zeggen als :

je weet :
\( e^a = (1+\frac{a}{n})^n \)
In dit geval":
\( a = \frac{1}{n} \)
dus dan krijg je als het ware :
\( e^{\frac{1}{n}} \)
voor n naar oneindig gaat dat naar 1.

Is dat een manier? Zoja, kan het ook anders?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: E-macht

Je kan het ook zo schrijven:
\({\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)^n} = {\left( {\underbrace {{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^{{n^2}}}}_{ \to e}} \right)^{\frac{1}{n}}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: E-macht

Inderdaad, mooie notatie overigens!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: E-macht

Voor LaTeX: "Click and learn" ;) .
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: E-macht

Het moet volgens de docent via de insluitstelling kunnen :
\( (1+\frac{1}{n^2})^n = (\frac{n^2+1}{n^2})^2 \)


maar dan weet ik ook dat :
\( (\frac{n^2}{n^2})^n \leq (\frac{n^2 +1}{n^2})^n \)
dus :
\( 1 \leq (\frac{n^2+1}{n^2})^n \)
zou dit kunnen :
\( (\frac{n^2+1}{n^2})^n \leq (\frac{n^2+1}{n^2-1})^n \)
maar dan :
\( 1 \leq (\frac{n^2+1}{n^2})^n \leq 1 \)

Berichten: 758

Re: E-macht

Kan dat? Of is dat te losjes? ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: E-macht

Ik weet niet wat je met 'losjes' bedoelt, maar het lijkt me niet goed.
\( (\frac{n^2+1}{n^2})^n \leq (\frac{n^2+1}{n^2-1})^n \)
Deze notatie is sowieso niet goed, die ongelijkheden gelden niet voor alle n. Je hebt links en rechts 'de limiet al genomen', maar in het midden niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: E-macht

hmmm... maar weet jij nog een mooie rij die ook gleijk is aan 1, en groter gelijk is aan de oorspronkelijke rij?

Ik heb de oorspronkelijk rij al begrensd van onder (door n^2/n want dat is 1, dus dat is mooi. maar de bovenkant weet ik dan niet zo 1-2-3...

Overigens kan dit :
\( (\frac{n^2+1}{n^2-1})^2 = (1 - \frac{1}{n^2-1})^n \)
en voor n groter dan 1, staat er in het grondtal iets strikt kleiners dan 1, dus dat kan nooit >1...

en ik had al laten zien dat het groter of gelijk is aan een, maar dus niet groter dan 1, dus moet het wel 1 zijn. Snijdt dit hout?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: E-macht

\( (\frac{n^2+1}{n^2-1})^2 = (1 - \frac{1}{n^2-1})^n \)
Dit klopt niet hoor, de uitdrukking is dan ook niet kleiner dan 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer