E-macht
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 758
E-macht
Bepaal de limieten van de volgende rij :
\( b_n : = ( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} \)
\( x+4 = n \)
\( b_n : = (\frac{n+4}{n+3})^n \)
\( b_n : = (\frac{n+3+1}{n+3})^n \)
\( b_n : = (1+\frac{1}{x+3})^n \)
Nu kan ik dit oplossen door e^ln (en dan l'hopital) truc te gebruiken, maar volgens mij is dat in mijn opdracht niet de bedoeling. Is er nog een mooie definitie dat ik vanuit hier naar de einduitkomst kan?- Berichten: 5.679
Re: E-macht
Wat is nu precies de rij? Je bn lijkt te veranderen,
\(( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} \ \neq\ (\frac{n+4}{n+3})^n \)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 5.679
Re: E-macht
Als je uitgaat van de bovenste term, daar kun je van maken:
\(( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} = ( \frac{n+4+4}{n+4} )^{n+4} = ( 1+\frac{4}{n+4} )^{n+4}\)
en die heeft uiteraard dezelfde limiet als \((1+\frac{4}{n})^n\)
en die is wel bekend. (ter controle: Verborgen inhoud
)In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.072
Re: E-macht
Bedoel je misschien het volgende?
\( b_n : = ( \frac{n+8}{n+4} )^{n+4} \)
\( b_n : = ( \frac{n+4+4}{n+4} )^{n+4} \)
\( b_n : = ( 1 + \frac{4}{n+4} )^{n+4} \)
\( b_n : = ( 1 + \frac{1}{\frac{n+4}{4}} )^{\frac{n+4}{4} \cdot 4} \)
\( b_x : = (( 1 + \frac{1}{x} )^{x})^4 \)
-
- Berichten: 758
Re: E-macht
Grove typefout gemaakt, het betreft :
maar had dit ook gekund :
\( b_n : = (\frac{n+8}{n+7})^{n+4}\)
\( b_n : = (\frac{n+7+1}{n+7})^{n+4} \)
\( b_n : = (1 + \frac{1}{n+7})^{n+4} \)
in principe maakt die +7 en +4 niks uit, als b_n naar oneindig gaat, dus gewoon emaar had dit ook gekund :
\( b_n : = (\frac{n+8}{n+7})^{n+4}\)
\( u = n+4 \)
\( b_{u-4} : = (\frac{u+4}{u+3})^{u}\)
\( b_{u-4} : = (1 + \frac{1}{u+3})^{u}\)
wederom, e?-
- Berichten: 7.072
Re: E-macht
\((1 + \frac{1}{u+3})^{u} = (1 + \frac{1}{u+3})^{u+3 -3}=(1 + \frac{1}{u+3})^{u+3} \cdot (1 + \frac{1}{u+3})^{-3} \rightarrow e \cdot 1 = e\)
-
- Berichten: 758
Re: E-macht
oja, dank!
en deze :
je weet :
Is dat een manier? Zoja, kan het ook anders?
en deze :
\( (1 + \frac{1}{n^2})^n \)
zou je dan iets kunnen zeggen als :je weet :
\( e^a = (1+\frac{a}{n})^n \)
In dit geval": \( a = \frac{1}{n} \)
dus dan krijg je als het ware :\( e^{\frac{1}{n}} \)
voor n naar oneindig gaat dat naar 1.Is dat een manier? Zoja, kan het ook anders?
- Berichten: 24.578
Re: E-macht
Je kan het ook zo schrijven:
\({\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)^n} = {\left( {\underbrace {{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^{{n^2}}}}_{ \to e}} \right)^{\frac{1}{n}}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
-
- Berichten: 758
Re: E-macht
Het moet volgens de docent via de insluitstelling kunnen :
maar dan weet ik ook dat :
\( (1+\frac{1}{n^2})^n = (\frac{n^2+1}{n^2})^2 \)
maar dan weet ik ook dat :
\( (\frac{n^2}{n^2})^n \leq (\frac{n^2 +1}{n^2})^n \)
dus :\( 1 \leq (\frac{n^2+1}{n^2})^n \)
zou dit kunnen :\( (\frac{n^2+1}{n^2})^n \leq (\frac{n^2+1}{n^2-1})^n \)
maar dan :\( 1 \leq (\frac{n^2+1}{n^2})^n \leq 1 \)
- Berichten: 24.578
Re: E-macht
Ik weet niet wat je met 'losjes' bedoelt, maar het lijkt me niet goed.
Deze notatie is sowieso niet goed, die ongelijkheden gelden niet voor alle n. Je hebt links en rechts 'de limiet al genomen', maar in het midden niet.\( (\frac{n^2+1}{n^2})^n \leq (\frac{n^2+1}{n^2-1})^n \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 758
Re: E-macht
hmmm... maar weet jij nog een mooie rij die ook gleijk is aan 1, en groter gelijk is aan de oorspronkelijke rij?
Ik heb de oorspronkelijk rij al begrensd van onder (door n^2/n want dat is 1, dus dat is mooi. maar de bovenkant weet ik dan niet zo 1-2-3...
Overigens kan dit :
en ik had al laten zien dat het groter of gelijk is aan een, maar dus niet groter dan 1, dus moet het wel 1 zijn. Snijdt dit hout?
Ik heb de oorspronkelijk rij al begrensd van onder (door n^2/n want dat is 1, dus dat is mooi. maar de bovenkant weet ik dan niet zo 1-2-3...
Overigens kan dit :
\( (\frac{n^2+1}{n^2-1})^2 = (1 - \frac{1}{n^2-1})^n \)
en voor n groter dan 1, staat er in het grondtal iets strikt kleiners dan 1, dus dat kan nooit >1...en ik had al laten zien dat het groter of gelijk is aan een, maar dus niet groter dan 1, dus moet het wel 1 zijn. Snijdt dit hout?
- Berichten: 24.578
Re: E-macht
Dit klopt niet hoor, de uitdrukking is dan ook niet kleiner dan 1.\( (\frac{n^2+1}{n^2-1})^2 = (1 - \frac{1}{n^2-1})^n \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)