Springen naar inhoud

Roterende plaat met deeltje


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Filippus

    Filippus


  • >100 berichten
  • 138 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2010 - 18:13

Het gaat om volgende opgave waar ik niet helemaal aan uit geraak:

Oefening_roterende_plaat.jpg

Veralgemeende co÷rdinaten:
a) Lagrangevergelijkingen opstellen.

Co÷rdinaten van het deeltje met massa m.
LaTeX

Co÷rdinaten van het zwaartepunt van de rechthoekige plaat met massa M.
LaTeX

Afgeleiden naar de tijd van de co÷rdinaten van het deeltje met massa m.
LaTeX

Afgeleiden naar de tijd van de co÷rdinaten van het zwaartepunt van de rechthoekige plaat met massa M.
LaTeX


Traagheidsmoment van de plaat LaTeX rond de z-as:
LaTeX

Hoeksnelheid van de plaat LaTeX rond de z-as:
LaTeX

Gegeven relatie tussen de massa m van het deeltje en de massa M van de plaat:
LaTeX

Uit de voorgaande vergelijkingen kan de totale kinetische energie T van het systeem als volgt berekend worden:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

De potentiŰle energie V van het systeem:

LaTeX

Uit de twee voorgaande vergelijkingen volgt de Lagrangiaan L van het systeem:

LaTeX

LaTeX blijkt een cylcische co÷rdinaat te zijn, dus is de bijbehorende veralgemeende impuls LaTeX een constante grootheid.
Nu kunnen de bewegingsvergelijkingen van Lagrange opgesteld worden.

LaTeX

Uitwerken:

LaTeX

Uiteindelijke oplossingen voor de Lagrangevergelijkingen:

LaTeX

b) Hamiltoniaan H en bijbehorende vergelijkingen bepalen.

Dit is ook gelukt. Ik ga ze niet helemaal uitschrijven omdat ik vermoed ze niet nodig te hebben voor vragen c) en d).

c) 2 behoudswetten bepalen.

Uit de vergelijking LaTeX volgt dat LaTeX een constante is, dit systeem voldoet dus aan behoud van impulsmoment.

Voor de tweede behoudswet vermoed ik behoud van energie. Ik zou dit kunnen aantonen door aan te tonen dat de Hamiltoniaan H gelijk is aan de totale energie
(LaTeX ), wat immers enkel geldt voor een conservatief systeem. Ik vermoed echter dat er een elegantere manier moet zijn om dit aan te tonen. Iemand een idee hoe?

d) z(t) bepalen en de gelijkheid LaTeX aantonen.
Gegeven:

i.
LaTeX

volgt uit 2 keer de vergelijking LaTeX te integreren naar de tijd en de correcte beginvoorwaarden in te vullen.

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

ii.
Deze gelijkheid moet wellicht aangetoond worden vanuit de vergelijkingen van Lagrange en de gegeven beginvoorwaarden. Iemand een idee hoe je dit aantoont?

Veranderd door Filippus, 21 september 2010 - 18:22

"Quis custodiet ipsos custodes?" (Juvenalis)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.




0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures