Radial & tangential acceleration

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 23-09-'10, 22:42

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Radial & tangential acceleration

Goedendag,

Ik heb de volgende acceleratie:
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
Deze vector wil ik opdelen in twee scalar equations, eentje in radiale richting, de andere in tangentiele richting.

De formules die ik (waarschijnlijk) nodig heb zijn:
\(a_{r}=\overrightarrow{\ddot{r}}-r\dot{\theta }^{2}\)
en:
\(a_{t}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\)
Nu staat in mijn boek:

radial :
\(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}=-\frac{u}{r^{2}}\)
tangential :
\(\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^{2}\dot{\theta})=0\)
Ik snap niet hoe ze aan deze vergelijkingen komen, iemand een idee?

Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 22:48

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Radial & tangential acceleration

Wat is de richting van de gegeven versnelling? En de grootte?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 22:48

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

Arie Bombarie schreef:Ik heb de volgende acceleratie:
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
Werk deze afgeleide eens uit (met de productregel); kijk dan even terug.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 23:06

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Radial & tangential acceleration

Hartelijk dank voor de snelle antwoorden.

ZVdP,

De richting van de gegeven versnelling:
\(\overrightarrow{r}\)
De grootte van de gegeven versnelling:
\(-\frac{u}{r^{3}}\)
TD,

Hoe zie je direct dat deze vector alleen een radiale component heeft?

Het moet inderdaad zijn:
\(a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta }^{2}\)
Afgeleide uitgewerkt en vermenigvuldigd met (1/r):
\(r\ddot{\theta}+\frac{\dot{r^{2}}}{r}\theta\)
Dit lijkt inderdaad wat op in het boek staat. Vervolgens kan ik wel van d(r^2)/dt het volgende maken: 2r (dr/dt), maar ook dit is niet hetzelfde.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 23:11

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

Arie Bombarie schreef:De richting van de gegeven versnelling:
\(\overrightarrow{r}\)
Dat klopt niet helemaal... Die \(r\ddot{\theta}\) wel, maar de tweede term...? Denk aan de kettingregel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 23:20

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Radial & tangential acceleration

Richting klopt, grootte niet. Ook de vector r heeft een grootte.
Klopt inderdaad, de magnitude van de gegeven versnelling is dan ook:
\(-\frac{u}{r^{2}}\)
Doordat er enkel een component volgens de vector r gelegen is.
Maar natuurlijk ;) .
Dat klopt niet helemaal... Die \(r\ddot{\theta}\) wel, maar de tweede term...? Denk aan de kettingregel.
Ik gebruik eerst de productregel, het tweede deel wat ik verkrijg: (d(r^2)/dt) * d(θ)/dt = 2r(dr/dt) * d(θ)/dt
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 23:23

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

Klopt inderdaad, de magnitude van de gegeven versnelling is dan ook:
\(-\frac{u}{r^{3}}\)
Ik gebruik eerst de productregel, het tweede deel wat ik verkrijg: (d(r^2)/dt) * d(θ)/dt = 2r(dr/dt) * d(θ)/dt
Juist en na deling door r is dat dus 2.dr/dt.dθ/dt; iets anders dan wat je hierboven schreef.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 23:34

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Radial & tangential acceleration

De tangentiele versnelling heb ik nu dus opgelost, de gevonden vergelijking is gelijk aan 0 omdat er alleen sprake is van acceleratie die volgens de vector r gelegen is (= radiale versnelling).

Nu de radiale versnelling.

Deze functie heb ik:
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
, deze vergelijking geeft dus (tevens) de radiale versnelling weer. De grootte van de radiale versnelling is gelijk aan
\(-\frac{u}{r^{2}}\)
, dus simpelweg: at =
\(-\frac{u}{r^{2}}\)
=
\(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\)
Hartelijk dank!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 23-09-'10, 23:35

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

Klopt helemaal; graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 24-09-'10, 00:15

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Radial & tangential acceleration

Toch snap ik het nog niet helemaal.

De functie die ik heb:
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
, deze vergelijking geeft dus de radiale versnelling weer. De grootte van de radiale versnelling is gelijk aan:
\(-\frac{u}{r^{2}}\)
.

Oftewel:
\(a_{t}=-\frac{u}{r^{2}}\)
Echter, de formule voor de radiale versnelling is:
\(a_{r}={\ddot{r}}-r\dot{\theta }^{2}\)
met de functie die ik heb:
\({\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}{r}\)
.

Als ik dit invul krijg ik:
\(a_{r}=-\frac{u}{r^{2}}-r\dot{\theta }^{2}\)
Nu heb ik dus twee tangentiele versnellingen die zo ver ik weet niet gelijk zijn aan elkaar...
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 24-09-'10, 09:15

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

Oftewel:
\(a_{t}=-\frac{u}{r^{2}}\)
Hoe kom je hierbij? De a_t is de tangentiële component, die is 0. De versnelling is volledig radiaal, dus de grootte is precies a_r, de grootte van de radiale component van de versnelling.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 24-09-'10, 11:22

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Radial & tangential acceleration

Sorry, mijn verhaal had moeten zijn:
Arie Bombarie schreef:Toch snap ik het nog niet helemaal.

De functie die ik heb:
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
, deze vergelijking geeft dus de radiale versnelling weer. De grootte van de radiale versnelling is gelijk aan:
\(-\frac{u}{r^{2}}\)
.

Oftewel:
\(a_{r}=-\frac{u}{r^{2}}\)
Echter, de formule voor de radiale versnelling is:
\(a_{r}={\ddot{r}}-r\dot{\theta }^{2}\)
met de functie die ik heb:
\({\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}{r}\)
.

Als ik dit invul krijg ik:
\(a_{r}=-\frac{u}{r^{2}}-r\dot{\theta }^{2}\)
Nu heb ik dus twee tangentiele versnellingen die zo ver ik weet niet gelijk zijn aan elkaar...
Nu heb ik dus verkregen:
\(a_{r}=-\frac{u}{r^{2}}\)
en:
\(a_{r}=-\frac{u}{r^{2}}-r\dot{\theta }^{2}\)
Iets lijkt mij dan ook niet te kloppen.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 24-09-'10, 11:30

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

met de functie die ik heb:
\({\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}{r}\)
.
Nee, hier haal je vector en grootte door elkaar, denk ik...

De formule was:
\(a_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta }^{2}\)
En in jouw geval is
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
waaruit volgt dat de grootte van de versnelling, en dus ook van de radiale component aangezien alles volgens r ligt, gelijk is aan -u/r². Dus:
\(-\frac{u}{r^{2}}=\ddot{r}-r\dot{\theta }^{2}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 24-09-'10, 11:43

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Radial & tangential acceleration

Hartelijk dank voor je snelle antwoord.

Dan vraag ik mij af waarom:
\(\overrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{3}}\overrightarrow{r}\nrightarrow{\ddot{r}}=-\frac{u}{r^{2}}\)
Niet klopt, terwijl het volgende wel klopt:
\(F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} \to \overrightarrow{F}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{3}}\overrightarrow{r}\)
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 24-09-'10, 11:59

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Radial & tangential acceleration

Volgens mij zit het (subtiele) probleem in de notatie, zie ook hier. Die versnelling is de plaatsvector r, twee keer naar de tijd afgeleid; dus misschien beter
\(\ddot{\overrightarrow{r}}\)
in plaats van
\(\overrightarrow{\ddot{r}}\)
Je kan dus niet zomaar zeggen dat de grootte van die vector, de tweede afgeleide is van de grootte van de plaatsvector.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”