Pagina 1 van 2
Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 11:55
door lucca
vind alle verdichtingspunten van de volgende rij :
\( a_n : = \frac{(-2)^n-2n}{2^{n+1}+n^2} \)
Je ziet al snel dat ":
\( \frac{1}{2}\)
en
\(\frac{-1}{2} \)
maar dit moet netjes gebeuren. Mag ik zomaar zeggen dat
\( (-2)^n \)
en
\( 2^{n+1} \)
de leidende termen zijn?
En dan krijg je :
\( a_n : = (-1)^n * \frac{1}{2} \)
voor n even : deelrij 1/2
voor n oneven deelrij -1/2
Kan dit zo ongeveer?
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:01
door TD
Wat je 'zomaar mag zeggen', hangt af van wat je gezien hebt en wat je mag gebruiken. Die twee termen zullen inderdaad domineren en de verdichtingspunten kloppen.
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:12
door lucca
hmm.. ik moet eerst afschatten naar
\( \frac{(-2)^n}{ 2^{n+1}} \)
Kun je ze als volgt afschatten :
\( \frac{2^n}{2^{n+1}} \)
en
\( \frac{-(2)^n}{2^{n+1}} \)
, ja toch?
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:22
door TD
Ik weet niet wat je hier met afschatten bedoelt (ik bedoel daarmee: een boven- of ondergrens vinden). Je moet naar de twee convergente deelrijen kijken (eventueel in de oorspronkelijke opgave al het onderscheid maken, n even en oneven), een afschatting zou ik dat niet noemen.
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:27
door lucca
hmm.. ik bedoel meer dat ik daarmee aangeef wat de leidende termen zijn is het rijtje.
Maar je mag natuurlijk zeggen : deelrij is eentje even, de ander oneven)
Maar dan heb je die -2n en n^2 er nog steeds bij, toch?
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:31
door TD
Juist, maar dan gebruik je - als je dat weet - dat die andere termen domineren, of meer formeel: deel door die termen en gebruik dat nk/an steeds naar 0 gaat voor elke k, a>1, n naar oneindig.
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:39
door lucca
maar dan krijg je dus voor de even deelrij :
\( \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{2^n}{2^{n+1}} - \frac{2n}{2^n}}{\frac{2^{n+1}}{2^{n+1}} + \frac{n^2}{2^{n+1}}} \)
\( = \frac{\frac{1}{2}-0}{1+0} \)
analoog voor oneven, maar hoe kan ik aantonen dat ik met deze twee deelrijen alles te pakken heb?...
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:41
door TD
Omdat je de rij 'exhaustief' verdeeld hebt in deze twee deelrijen, je 'mist' geen termen meer...
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:48
door lucca
Mooi zo =)
En je hebt al de limiet bepaald, dus je weet dan ook direct de verdichtingspunten! =)
dankje TD:)
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: za 25 sep 2010, 12:49
door TD
Klopt; graag gedaan.
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: zo 26 sep 2010, 10:36
door lucca
mijn docent zei dat ik een willekeurig verdichtingspunt moet nemen. Daar hoort een
convergente deelrij bij.(logisch). Vervolgens moet ik dan gaan kijken naar de deelrijen van die deelrij.
dus dan krijg je,
veronderstel een willekeurig verdichtingspunt
\( y* \)
met haar bijbehorende convergente deelrij
\( a_{n_k} \)
maar moet ik dan als deelrij gewoon a_n zelf nemen, en die dan weer opslitsen zoals eerder gedaan?
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: zo 26 sep 2010, 11:10
door TD
Gaat het nu over dezelfde opgave? Stap 1 is een "willekeurig verdichtingspunt" nemen? Maar die ken je dan nog niet...?
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: zo 26 sep 2010, 11:17
door lucca
ja, klopt, dezelfde opdracht. Ja je moet een verdichtingspuntkiezen. maar daar weet je van dat het een convergente deelrij heeft. en die deelrij kun je weer opdelen in 2 deelrijen (even en oneven)..
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: zo 26 sep 2010, 11:23
door TD
Ik begrijp de precieze bedoeling nog altijd niet (zie hierboven); op voorhand ken je de verdichtingspunten toch niet? Of is het de bedoeling dat je die 'op zicht' voorspelt en dan...? Ja, en dan?
Re: Verdichtingspunt
Geplaatst: zo 26 sep 2010, 11:53
door lucca
Het idee is dat je een willekeurig verdichtingspunt kiest, zodat je op het einde kunt zeggen, aha, voor een willekeurig veridhctingspunt geldt 1/2 en -1/2, dus nu moet het wel voor alle verdichtingspunten gelden. Maar ik weet niet heel goed hoe ik hiermee uit de voeten kan..
