Springen naar inhoud

Driekhoeksongelijkheid voor oneindig veel termen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2010 - 13:04

Zij LaTeX absoluut convergent, laat zien :

LaTeX

bewijs :

Gezien LaTeX absoluut convergent, weten we dat :

LaTeX dus :

LaTeX

maar dat kan ik schrijven als :

LaTeX dit komt, omdatLaTeX , hieruit volgt dat de breuk nooit negatief kan zijn!

maar dat is dan weer :

LaTeX

Snijdt dit hout?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 september 2010 - 13:13

bewijs :

Gezien LaTeX

absoluut convergent, weten we dat :

LaTeX dus :

Dit snap ik niet...

Je kan de driehoeksongelijkheid niet rechtstreeks toepassen op een oneindig aantal termen, maar wel op een eindig aantal termen. Het feit dat de reeks absoluut convergent is, betekent... (definitie, of criterium van Cauchy); en die uitdrukking kan je dan wel afschatten met de driehoeksongelijkheid.

Tenzij het zo niet de bedoeling is, maar dat is moeilijk te zeggen als we niet weten wat jouw definities zijn of hoe de cursus is opgebouwd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2010 - 19:42

de definitie die ik ken zegt :

als een oneindige reeks LaTeX absoluut convergeert, dan is de reeks LaTeX convergent.

Bedoel je deze?

en kan ik dan zoiets toepassen wat ik al deed? Of hoe moet ik dat dan aanpakken?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 september 2010 - 23:59

Nee, ik bedoelde een definitie (of handiger criterium) voor de convergentie an sich.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2010 - 10:15

Bedoel je het cauchty criterium voor reeksen, waarbij een oneindige reeks ak convergeert als in de staart van de reeks de sommatie 0 is?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2010 - 10:22

Niet 0, maar kleiner dan eender welke e>0 (ongeveer); het criterium van Cauchy ja. Op dat eindig aantal termen, kan je de driehoeksongelijkheid toepassen en afschatten zodat ook de andere rij duidelijk voldoet aan dat criterium.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2010 - 10:48

dus dan krijg ik iets als :

zij LaTeX absoluut convergent,

dan weet je dat voor elke epsilon groter dan 0 bestaat er een n* zodat als n>m>n* :

LaTeX

Maar :

LaTeX (driehoeksong.)

Maar dan ook :

LaTeX

en dat trek je dan door op oneidnige reeks?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2010 - 11:05

dus dan krijg ik iets als :

zij LaTeX

(driehoeksong.)

Dit klopt dan wel, maar de conclusie is dus: rechts het criterium voor de reeks met positieve termen (absolute convergentie), kleiner dan e, dus links (de 'gewone reeks') ook kleiner dan e door de afschatting; dus ook die reeks voldoet aan het criterium en is dus convergent.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2010 - 11:52

Dus als het goed is krijg ik het volgende :

zij LaTeX absoluut convergent,

maar dan :

voor alle epsilon groter dan nul, bestaat er een n*, zodat als n > m > n* geldt :

LaTeX

maar op grond van driehoeksongelijkheid is bekend dat :

LaTeX

maar dat is te schrijven als :

LaTeX

maar dan zijn we er al, klaar!

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2010 - 13:51

Ja, al is de essentie dat dit linkerlid dus ook kleiner te krijgen is dan eender welke epsilon; dus aan het criterium van Cauchy voldoet en daardoor is ook die overeenstemmende reeks convergent.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 12:16

Als nu het volgende gegeven is:

Voor alle n element van ;)\{0} en voor alle LaTeX element van ](*,) geldt dat:

LaTeX

Hoe kan je dan mbv. volledige inductie bewijzen dat deze ongelijkheid klopt?
Ik weet namelijk niet wat ik met die absoluut strepen aan moet en ook niet hoe ik volledige inductie kan gebruiken bij een ongelijkheid.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 10:06

Schrijf de inductiehypothese eens uit en voeg dan een term toe; gebruik de driehoeksongelijkheid zodat je de hypothese kan gebruiken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures