Springen naar inhoud

Infimum en supremum


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 12:07

Hoe kan je met behulp van de definitie van het infimum het volgende laten zien?

inf{f(x) + g(x) : x € A} ](*,) inf{f(x) : x € A} + inf{g(x) : x € A}.

€ is het teken voor 'element van' in dit geval.

Ook vroeg ik me nog af hoe je van een bepaalde verzameling kon laten zien dat het supremum van die verzameling bestaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 12:29

Hoe kan je met behulp van de definitie van het infimum het volgende laten zien?

inf{f(x) + g(x) : x € A} ](*,) inf{f(x) : x € A} + inf{g(x) : x € A}.

€ is het teken voor 'element van' in dit geval.

Die stelling is niet waar, neem bijvoorbeeld f(x)=sin(x), g(x)=cos(x), en A = :).

Dan inf { f(x) } = inf { g(x) } = 1, dus samen 2, maar inf { f(x)+g(x) } = [wortel]2

Ik denk dat je het omgekeerd bedoelde, met ;) ipv :) ? (dan klopt de stelling wel)

Ook vroeg ik me nog af hoe je van een bepaalde verzameling kon laten zien dat het supremum van die verzameling bestaat.

Door te kijken of de verzameling van boven begrensd is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 12:49

Die stelling is niet waar, neem bijvoorbeeld f(x)=sin(x), g(x)=cos(x), en A = :).

Dan inf { f(x) } = inf { g(x) } = 1, dus samen 2, maar inf { f(x)+g(x) } = [wortel]2

Ik denk dat je het omgekeerd bedoelde, met ;) ipv ](*,) ? (dan klopt de stelling wel)


Door te kijken of de verzameling van boven begrensd is.


er was ook nog het volgende gegeven:
Laat A en B een deelverzameling zijn van :) en neem aan dat B naar beneden begrensd is. Laat f,g : A -> B functies zijn.

ik weet niet of dit dan iets uitmaakt of niet?
Het lijkt mij van niet.

#4

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 09:47

Ik begrijp het volgende niet:

V={v € ](*,)>0: v˛<2}

Definieer x=SupV, laat zien dat x˛=2

€ is weer het teken voor element.

Ik snap niet wat er hier gevraagd wordt.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 09:59

Ik begrijp het volgende niet:

V={v € ;)>0: v˛<2}

Definieer x=SupV, laat zien dat x˛=2

€ is weer het teken voor element.

Ik snap niet wat er hier gevraagd wordt.


Ik vind het persoonlijk altijd gemakkelijker om het te schrijven als een interval zodat je goed de grenzen kunt zien.
In welk interval is v˛<2 ( rekening houdend met v€ ](*,)>0) ?

#6

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:12

Ik vind het persoonlijk altijd gemakkelijker om het te schrijven als een interval zodat je goed de grenzen kunt zien.
In welk interval is v˛<2 ( rekening houdend met v€ ](*,)>0) ?


Volgens mij in het interval (0,[wortel]2).
Maar wat moet je dan verder doen?

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:20

Volgens mij in het interval (0,[wortel]2).
Maar wat moet je dan verder doen?


Alleen letten op het gebruik van haken.
Het interval is dus: [0,[wortel]2[
[wortel]2 niet inbegrepen immers ([wortel]2)˛ is niet kleiner dan 2 maar gelijk aan 2.

Dus wat is nu het x= SupV van deze verzameling?

Veranderd door Siron, 03 oktober 2010 - 10:23


#8

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:33

Alleen letten op het gebruik van haken.
Het interval is dus: [0,[wortel]2[
[wortel]2 niet inbegrepen immers ([wortel]2)˛ is niet kleiner dan 2 maar gelijk aan 2.

Dus wat is nu het x= SupV van deze verzameling?


ik heb geleerd dat bij een open interval de randen niet in het interval zitten en dat je dan () gebruikt en bij een gesloten interval dat daar dan de randen wel in de verzameling zitten en dat je dan [] gebruikt. Ik heb het net voor de zekerheid nog even in me boek opgezocht en daar staat het dus zoals ik hierboven beschreef.

x=SupV=[wortel]2 lijkt mij. En omdat je x dan kwadrateer wordt het x˛=2 denk ik.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:54

ik heb geleerd dat bij een open interval de randen niet in het interval zitten en dat je dan () gebruikt en bij een gesloten interval dat daar dan de randen wel in de verzameling zitten en dat je dan [] gebruikt. Ik heb het net voor de zekerheid nog even in me boek opgezocht en daar staat het dus zoals ik hierboven beschreef.

x=SupV=[wortel]2 lijkt mij. En omdat je x dan kwadrateer wordt het x˛=2 denk ik.


Ah, zo heb ik het nooit geleerd, maar je kan ook ] (open) [(gesloten) gebruiken:
[] gesloten interval
][ open interval
]] half open interval
[[ half gesloten interval

(Maar als je handboek dat zegt zal het wel kloppen volgens mij.)

Klopt. Het SupV=x=[wortel]2 en dus is x˛=2
Dat moest toch aangetoond worden.

Veranderd door Siron, 03 oktober 2010 - 10:58


#10

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 11:24

Die stelling is niet waar, neem bijvoorbeeld f(x)=sin(x), g(x)=cos(x), en A = :).

Dan inf { f(x) } = inf { g(x) } = 1, dus samen 2, maar inf { f(x)+g(x) } = [wortel]2

Ik denk dat je het omgekeerd bedoelde, met ;) ipv ](*,) ? (dan klopt de stelling wel)


Door te kijken of de verzameling van boven begrensd is.


Hoe kwam je er eigenlijk in jou voorbeeld aan dat inf { f(x)+g(x) } = [wortel]2? het supremum is toch [wortel]2 en het infimum is toch -[wortel]2? dus dan zou hij toch wel kloppen voor jou voorbeeld?
Want dan wordt inf { f(x) } = inf { g(x) } = -1, dus samen 2, maar inf { f(x)+g(x) } = -[wortel]2 en dan is dus -2<-[wortel]2

Maar hoe kan ik dit dan bewijzen voor elke f(x) en g(x)?

#11

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 21:50

Even alles op een rijtje zetten.

Definitie infimum: Een element x € :) heet een infimum van V als het een grootste ondergrens van V is, dat wil zeggen:
- x is ondergrens voor V, en
- als y een ondergrens voor V is, dan geldt y ;) x.

Laat A,B een deelverzameling van :) zijn, en neem aan dat B naar beneden begrensd is. Laat f,g: A → B functies zijn.
Laat met behulp van de definitie van het infimum zien dat:
inf{f(x)+g(x): x € A} ](*,) inf{f(x): x € A}+inf {g(x): x € A}.

Met € teken voor element van.

We hebben nu een tip gekregen van de docent:
Gebruik de definitie van infimum. Meer heb je niet nodig. De opgave heeft een heel kort antwoord, maar je moet correct redeneren.

Nu is mijn vraag of er iemand is die me een stap in de goede richting kan helpen.

#12

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 20:13

Nu is mijn vraag of er iemand is die me een stap in de goede richting kan helpen.


ik denk dat je er als volgt kan geraken

Noem A =infimum van f(x) an B= infimum van g(x)

Dan is voor alle x : f(x) groter of gelijk aan A
en voor alle x : g(x) groter of gelijk aan B

maar dan is voor alle x : f(x)+g(x) ....

en dan nog een paar regels en het is klaar

denk ik ...

Veranderd door Fernand, 04 oktober 2010 - 20:15

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures