Een reeks

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Een reeks

Hallo, ik moet van volgende reeks een formule opstellen voor de partiele som, alleen kom ik er niet uit.

Reeks:
\( \frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+ ... + \frac{2}{(2n-1).(2n+1)}+ ... \)
Of anders gezegd:
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{(2k-1).(2k+1)} \)
Nu moet ik
\(\frac{2}{(2k-1).(2k+1)}\)
in een partiele som splitsen, maar dat lukt me niet.

Kan iemand me helpen ](*,)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een reeks

Je wil de breuk herschrijven, toch?
\(2 \cdot \left( \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}\right)\)
Zet nu terug op gelijke noemer en identificeer de coëfficiënten.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

In fysics I trust schreef:Je wil de breuk herschrijven, toch?
\(2 \cdot \left( \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}\right)\)
Zet nu terug op gelijke noemer en identificeer de coëfficiënten.
Ja, inderdaad ik wil ze herschrijven om dan tot de partiele som van de reeks te komen.

Moet dan: A(2k+1)+B(2k-1)= 1 ?

Volgens mij moet A= 1/2 en B=-1/2?

Kan dat?
\(2 \cdot \left( \frac{\frac{1}{2}}{2k-1} - \frac{\frac{1}{2}}{2k+1}\right)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een reeks

Klopt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

Klopt!
Bedankt ](*,)

Ik heb de partiele som kunnen berekenen.

Kan ik misschien ergens een overzicht vinden van een breuk splitsen in partiele sommen, want we hebben nooit die theorie gekregen.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

Ik zit nu met volgende reeks:
\( \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+ ... + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}+... \)
Als ik dus de breuk splits krijg ik:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+1)}-\frac{\frac{1}{k}}{k+2}\)
Nu als ik de partiele som wil berekenen bekom ik een fout antwoord.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een reeks

Hm, je hebt dus je noemer ontbonden in factoren. Er zijn in dit geval dus 3 breuken die je zal bekomen (want 3 factoren). Je stelt dus breuken voor met teller een graad lager dan de noemer.

Dus: A/k+B/(k+1) + C/(k+2)

Dan zet je alles weer op gemeenschappelijke noemer. De noemer is dan alvast in orde. Voor de teller krijg je 3 vergelijkingen: coëffciënt van k² moet 0 zijn, idem voor die van k¹ en die van k⁰ (=1) moet 1 zijn.

voorbeeldjes op http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=5790
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

In fysics I trust schreef:Hm, je hebt dus je noemer ontbonden in factoren. Er zijn in dit geval dus 3 breuken die je zal bekomen (want 3 factoren). Je stelt dus breuken voor met teller een graad lager dan de noemer.

Dus: A/k+B/(k+1) + C/(k+2)

Dan zet je alles weer op gemeenschappelijke noemer. De noemer is dan alvast in orde. Voor de teller krijg je 3 vergelijkingen: coëffciënt van k² moet 0 zijn, idem voor die van k¹ en die van k⁰ (=1) moet 1 zijn.

voorbeeldjes op http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=5790
Ik begrijp de theorie niet goed. Ik begrijp ook niet goed wat je bedoelt met de coefficient van k²=0 ... ?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een reeks

Stap 1: ontbind de noemer in factoren

Stap 2: Stel de teller voor door een algemene polynoom van één graad lager, vb. A, Ax+B, Ax²+Bx+C waarbij de noemers respectievelijk van graad 1, 2 en 3 zijn.

Stap 3:Breng alles terug op één noemer. Die moet je niet uitrekenen: dat is de noemer die je ontbonden hebt. In de teller schik je alles to je een coëfficiënt hebt bij de hoogste macht van x (en die coëfficiënt bevat A, B, C,...), bij de macht van x die eentje lager is enzovoort. Dus termen in xn,...x³, x²,x¹,x⁰ In het voorbeeld waarbij je vast zit, zullen er hoogstens termen in k² bestaan (je noemer is van orde 3), en 2=3-1.

Stap 4: identificatie van de coëfficiënten: concreet: coëfficiënten bij k² moet 0 zijn, bij k idem, en de term in k⁰ die moet 1 zijn

Stap 5: los het bekomen stelsel op
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

Ik heb het een paar keer gelezen, maar ik begrijp het nog niet helemaal.

Ik neem terug het eerste voorbeeld:

De reeks waarbij ik deze term moest splitsen:
\(\frac{2}{(2n-1)(2n+1}})\)
Ik kan dat schrijven als:
\(2( \frac{A}{2n-1}+ \frac{B}{2n+1})\)
Dit toch omdat de noemer van beide breuken van de 1ste graad is?

Dus nu terug op gelijke noemer zetten:
\(2[\frac{A(2n+1)+B(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}]\)
\( \Leftrightarrow 2[\frac{2An+2Bn+A-B}{(2n-1)(2n+1)}]\)
Maar nu begrijp ik het niet. Hoe moet ik hiervan een stelsel maken?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

Ik heb het een paar keer geoefend en ik begrijp het nu denk ik, ik heb dus gevonden:
\(\frac{\frac{1}{2}}{n} - \frac{\frac{1}{2}}{n+1} - \frac{\frac{1}{2}}{n+2}\)
De reeks kan dus ook geschreven worden als:
\( (\frac{\frac{1}{2}}{1} - \frac{\frac{1}{2}}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{3})+(\frac{\frac{1}{2}}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{3} - \frac{\frac{1}{2}}{4})+(\frac{\frac{1}{2}}{3} - \frac{\frac{1}{2}}{4} - \frac{\frac{1}{2}}{5})+...+(\frac{\frac{1}{2}}{n-1} - \frac{\frac{1}{2}}{n} - \frac{\frac{1}{2}}{n+1})+(\frac{\frac{1}{2}}{n} - \frac{\frac{1}{2}}{n+1} - \frac{\frac{1}{2}}{n+2})\)
Nu dacht ik dus dat:
\( Sn=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{n+1}\frac{\frac{1}{2}}{n+2}\)
\( = \frac{n²+n-1}{2(n+1)(n+2)}\)
Maar dit klopt niet volgens de antwoorden.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een reeks

Over je eerste post: tot waar je bent, klopt het. Daar ga je verder: groepeer je teller in termen in n; en termen niet in n.

Zie je in de oorspronkelijke breuk een n in de teller staan? Neen, dus moet de coëffciënt van n 0 zijn. Dit geeft een voorwaarde op A en B.

De termen niet in n moeten samen 2 vormen (zie teller oorspronkelijke breuk). Dat geeft een tweede voorwaarde. Je hebt dus een stelsel van 2 vergelijkingen in 2 onbekenden (A en B), en dus een unieke oplossing. Begrijp je dat tot daar?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een reeks

Wat dat tweede betreft: heb je ook het volgende stelsel?

A+B+C=0

3A+2B+C=0

2A=1
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

In fysics I trust schreef:Wat dat tweede betreft: heb je ook het volgende stelsel?

A+B+C=0

3A+2B+C=0

2A=1
Dus A=1/2

En dus krijg je een nieuw stelsel:

B+C=-1/2

2B+C=-3/2

Ah ik zie mijn fout al:

Ik ben da C vergeten in de eerste vergelijking.

Nu kan ik combinatie toepassen en dan verder uitwerken.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Een reeks

Ik heb de breuk kunnen splitsen in partiele breuken:
\(\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{\frac{1}{2}}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{\frac{1}{2}}{k+2}\)
Nu als ik de partiele som Sn wil bereken bekom ik niet hetgene wat het boek bekomt.

Ik krijg: Sn=
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{\frac{1}{2}}{n+2}\)
=
\( \frac{n²+2n-1}{2(n+1)(n+2)}\)
En de oplossing zegt:
\(\frac{n²+3n}{4(n+1)(n+2)}\)
Bedankt al voor al je hulp ](*,)

Reageer