Reëel en rationaal
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 21
Re
Ik stuit op het volgende bij de uitleg van een bewijs:
We weten dat tussen elk paar reële getallen die niet aan elkaar gelijk zijn een rationaal getal
ligt.
Maar hoe kunnen we dit dan bewijzen. Ik weet dat je dan moet bewijzen dat wanneer x,y elementen van zijn, en q een element van ](*,) is, dat het volgende dan geldt:
x<q<y
maar hoe bewijs je dit? Ik vind het namelijk wel leuk dat ze zeggen dat het zo is, maar er is nergens een bewijs te vinden dat het ook daadwerkelijk zo is.
We weten dat tussen elk paar reële getallen die niet aan elkaar gelijk zijn een rationaal getal
ligt.
Maar hoe kunnen we dit dan bewijzen. Ik weet dat je dan moet bewijzen dat wanneer x,y elementen van zijn, en q een element van ](*,) is, dat het volgende dan geldt:
x<q<y
maar hoe bewijs je dit? Ik vind het namelijk wel leuk dat ze zeggen dat het zo is, maar er is nergens een bewijs te vinden dat het ook daadwerkelijk zo is.
- Berichten: 368
Re: Re
Met reeel getal bedoel je waarschijnlijk een irrationaal getal.Lauwratjuh schreef:Ik stuit op het volgende bij de uitleg van een bewijs:
We weten dat tussen elk paar reële getallen die niet aan elkaar gelijk zijn een rationaal getal
ligt.
Maar hoe kunnen we dit dan bewijzen.
Misschien kan je je de volgende redenering veralgemenen
sqrt(101) = 10.04987....
sqrt(102) = 10.0995...
Dit zijn twee irrationale getallen.
Er is altijd een decimale plaats te vinden waar het eerste en tweede getal een verschil vertoont.
Hier is dit bij de 4 en 9 honderdsten.
Je kan dan een breuk maken welke er tussen ligt. in het voorbeeld 10.06
Probeer deze redenering algemeen te formuleren zodat je een algemeen bewijs hebt.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 21
Re: Re
Zo iets als dit had ik inderdaad ook al bedacht alleen kom ik niet uit het algemeniseren omdat ik niet weet waar ik moet beginnen.Fernand schreef:Met reeel getal bedoel je waarschijnlijk een irrationaal getal.
Misschien kan je je de volgende redenering veralgemenen
sqrt(101) = 10.04987....
sqrt(102) = 10.0995...
Dit zijn twee irrationale getallen.
Er is altijd een decimale plaats te vinden waar het eerste en tweede getal een verschil vertoont.
Hier is dit bij de 4 en 9 honderdsten.
Je kan dan een breuk maken welke er tussen ligt. in het voorbeeld 10.06
Probeer deze redenering algemeen te formuleren zodat je een algemeen bewijs hebt.
Re: Re
Ik had dezelfde gedachtengang, maar kom er zo niet uit.
Het lukt wel als je net boven een getal zit met eindig veel decimalen, maar niet als je er net onder zit.
Tussen 1 en 1,13274.. kan ik zeggen dat er een getal is dat ertussen ligt, want dat is gewoon 1,05.
Uitgebreid voor het willlekeurig geval, als de Mde decimaal verschilt, dan is y-x>1/2. 10^-M. Dus
Als ik aanneem dat er voor elk reeel getal een getallenstelsel is, waarin de representatie eindig is, lukt het wel.
Ik zou zelfs kunnen zeggen, dat ik het x-tallig stelsel introduceer, dat het getal x (het kleinste reeele getal) als basis heeft. Het getal y wordt dan weergegeven als abc,defg... zodat
Het lukt wel als je net boven een getal zit met eindig veel decimalen, maar niet als je er net onder zit.
Tussen 1 en 1,13274.. kan ik zeggen dat er een getal is dat ertussen ligt, want dat is gewoon 1,05.
Uitgebreid voor het willlekeurig geval, als de Mde decimaal verschilt, dan is y-x>1/2. 10^-M. Dus
\(x< x+ 1/2.10^{-M}<y\)
maar zoals gezegd is dat maar de helft van het 'bewijs'. Want als ik de getallen 0,99999999..... (een reeel getal met oneindig veel negens) en 1 neem, zie ik geen tussenliggend getal. Als ik aanneem dat er voor elk reeel getal een getallenstelsel is, waarin de representatie eindig is, lukt het wel.
Ik zou zelfs kunnen zeggen, dat ik het x-tallig stelsel introduceer, dat het getal x (het kleinste reeele getal) als basis heeft. Het getal y wordt dan weergegeven als abc,defg... zodat
\(y=a.x^2+b.x^1+c.1+d.x^{-1}+e.x^{-2}...\)
Omdat y>x moet er een M zijn waarvoor het Mde getal van de representatie van y in het x-tallig stelsel verschilt van 0, en dan is het bovenstaande weer van toepassing.- Berichten: 2.097
Re: Re
Dat komt dan ook omdat 0,9999999...=1maar zoals gezegd is dat maar de helft van het 'bewijs'. Want als ik de getallen 0,99999999..... (een reeel getal met oneindig veel negens) en 1 neem, zie ik geen tussenliggend getal.
Zoek je een concrete formule voor het rationale getal? Want in principe is de constuctie van Fernand een bewijs.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
- Berichten: 5.679
Re: Re
Hier even een ander spoor om je op weg te helpen:
Bekijk eens het getal
Als je dit even op een denkbeeldige getallenlijn uitzet:
Bekijk nu eens de getallen n/k voor
Enig idee nu?
Bekijk eens het getal
\(k=\left\lfloor\frac{1}{y-x}\right\rfloor+1\)
, dat is een natuurlijk getal zodanig dat x en y meer dan 1/k uit elkaar liggen (als x en y weinig verschillen is k heel groot).Als je dit even op een denkbeeldige getallenlijn uitzet:
Bekijk nu eens de getallen n/k voor
\(n\in\zz\)
(dat zijn uiteraard rationale getallen), deze liggen als volgt rond x en y:Enig idee nu?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 21
Re: Re
Waarom geldt x-y>1/k? is dat omdat je dat zo gemaakt hebt in die regel daarvoor?Rogier schreef:Hier even een ander spoor om je op weg te helpen:
Bekijk eens het getal\(k=\left\lfloor\frac{1}{y-x}\right\rfloor+1\), dat is een natuurlijk getal zodanig dat x en y meer dan 1/k uit elkaar liggen (als x en y weinig verschillen is k heel groot).
Als je dit even op een denkbeeldige getallenlijn uitzet:
Bekijk nu eens de getallen n/k voor\(n\in\zz\)(dat zijn uiteraard rationale getallen), deze liggen als volgt rond x en y:
Enig idee nu?
Dat laatste stukje snap ik ook nog niet helemaal, waarom die getallen op die manier rond x en y liggen, hoe kom je daaraan?
- Berichten: 5.679
Re: Re
Nou eigenlijk y-x > 1/k (want y>x, niet andersom), maar inderdaad, zie definitie van k.Waarom geldt x-y>1/k? is dat omdat je dat zo gemaakt hebt in die regel daarvoor?
Bijvoorbeeld: als x en y bijna 1/10 verschillen (maar meer dan 1/11), wat is dan k?
De getallen n/k liggen natuurlijk regelmatig verdeeld op de reële getallenlijn met vaste stapjes ter grootte van 1/k.Dat laatste stukje snap ik ook nog niet helemaal, waarom die getallen op die manier rond x en y liggen, hoe kom je daaraan?
Aangezien y-x > 1-k past er meer dan één zo'n stapje tussen x en y in. Of anders gezegd er ligt in ieder geval één heel stukje 1/k tussen x en y.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 21
Re: Re
Sorry verkeerd om gezet, ondanks dat ik nog had gekeken of ik het in de goede volgorde had gezet.Rogier schreef:Nou eigenlijk y-x > 1/k (want y>x, niet andersom), maar inderdaad, zie definitie van k.
Bijvoorbeeld: als x en y bijna 1/10 verschillen (maar meer dan 1/11), wat is dan k?
Als ze bijna 1/10 verschillen,dan is k bijna 11 maar kleiner dan 12 toch?
Je bedoeld toch: Aangezien y-x>1/k past.....De getallen n/k liggen natuurlijk regelmatig verdeeld op de reële getallenlijn met vaste stapjes ter grootte van 1/k.
Aangezien y-x > 1-k past er meer dan één zo'n stapje tussen x en y in. Of anders gezegd er ligt in ieder geval één heel stukje 1/k tussen x en y.
Het maakt dus inwezen niet uit waar je x en y plaatst zolang je maar y>x neemt en een afstand tussen die twee neemt die groter is dan 1/k. Ik wil even zeker zijn dat ik het begrijp, vandaar dat ik het even herhaal.
- Berichten: 5.679
Re: Re
Die haken in de definitie van k is de Entier-functie. Die rondt reële getallen af naar beneden.Lauwratjuh schreef:Sorry verkeerd om gezet, ondanks dat ik nog had gekeken of ik het in de goede volgorde had gezet.
Als ze bijna 1/10 verschillen,dan is k bijna 11 maar kleiner dan 12 toch?
Dus als y-x bijna 1/10 is (maar meer dan 1/11), is 1/(y-x) ruim 10 (maar minder dan 11), dus
\(\lfloor 1/(y-x) \rfloor\)
is exact 10, dus k is exact 11.(eh sorry, 1/k ja)Je bedoeld toch: Aangezien y-x>1/k past.....
Ja, dat x kleiner is dan y begreep ik uit je OP (daar stond het gezochte getal q als x<q<y) (en anders zou je iets met 1/|x-y| kunnen doen ofzo) maar inderdaad, het doet er verder niet toe waar of hoe dichtbij of hoe ver x en y van elkaar liggen.Het maakt dus inwezen niet uit waar je x en y plaatst zolang je maar y>x neemt
Juist, die 1/k is zodanig geconstrueerd dat het een rationaal getal is wat kleiner is dan y-x.en een afstand tussen die twee neemt die groter is dan 1/k. Ik wil even zeker zijn dat ik het begrijp, vandaar dat ik het even herhaal.
Nu nog een rationaal getal maken dat tussen x en y in ligt (dat kan makkelijk met behulp van k).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 21
Re: Re
Die haken kende ik nog niet.Die haken in de definitie van k is de Entier-functie. Die rondt reële getallen af naar beneden.
Ik zie nog niet helemaal hoe dit kan helpen.Dus als y-x bijna 1/10 is (maar meer dan 1/11), is 1/(y-x) ruim 10 (maar minder dan 11), dus\(\lfloor 1/(y-x) \rfloor\)is exact 10, dus k is exact 11.
een foutje is zo gemaakt ](*,)(eh sorry, 1/k ja)
Dat klopt dat x kleiner is dan y zo was het inderdaad gegeven.Ja, dat x kleiner is dan y begreep ik uit je OP (daar stond het gezochte getal q als x<q<y) (en anders zou je iets met 1/|x-y| kunnen doen ofzo) maar inderdaad, het doet er verder niet toe waar of hoe dichtbij of hoe ver x en y van elkaar liggen.
Juist, die 1/k is zodanig geconstrueerd dat het een rationaal getal is wat kleiner is dan y-x.
Ik zie nog niet in hoe ik dit kan doen.Nu nog een rationaal getal maken dat tussen x en y in ligt (dat kan makkelijk met behulp van k).
- Berichten: 5.679
Re: Re
Kijk nog eens naar de getallenlijn, en de veelvouden van 1/k die daar liggen:Ik zie nog niet in hoe ik dit kan doen.
We noemen n/k het 1/k-stapje dat net voor x ligt (of wat precies x is, wat zou kunnen als x toevallig een 1/k-veelvoud is). Als je n kunt bepalen, dan ben je er, want (n+1)/k is dan een geschikt getal q.
Welnu, x is een bepaald aantal keer 1/k. Hoe vaak? Nou, een geheel aantal keer plus een beetje (dat is altijd zo). Dat geheel aantal keer is hier n, zie je dat? Kun je n uitdrukken in x en k? (denk aan de entier-functie)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 21
Re: Re
Tot hier snap ik hem nog.Rogier schreef:Kijk nog eens naar de getallenlijn, en de veelvouden van 1/k die daar liggen:
We noemen n/k het 1/k-stapje dat net voor x ligt (of wat precies x is, wat zou kunnen als x toevallig een 1/k-veelvoud is). Als je n kunt bepalen, dan ben je er, want (n+1)/k is dan een geschikt getal q.
Welnu, x is een bepaald aantal keer 1/k. Hoe vaak? Nou, een geheel aantal keer plus een beetje (dat is altijd zo). Dat geheel aantal keer is hier n, zie je dat?
Maar je weet toch niet wat x precies is doordat het n/k+iets is. Of heb je hiervoor dan de entier-functie nodig om dat iets te bepalen?Kun je n uitdrukken in x en k? (denk aan de entier-functie)
- Berichten: 1.069
Re: Re
Er zijn verschillende manieren om die eigenschap te bewijzen. Je kan ook steunen op de eigenschappen van Reele Getallen.
Ik gebruikte een handboek waar het bewijs in de theorie stond uitgewerkt.
Als je het zou willen zien kan je altijd bij google: Studiepakket 5, Analyse I intypen en zoeken met google naar boeken.
In dat handboek staat het bewijs uitgewerkt op blz. 20: Q is dicht in R.
Ik gebruikte een handboek waar het bewijs in de theorie stond uitgewerkt.
Als je het zou willen zien kan je altijd bij google: Studiepakket 5, Analyse I intypen en zoeken met google naar boeken.
In dat handboek staat het bewijs uitgewerkt op blz. 20: Q is dicht in R.