Springen naar inhoud

ReŽel en rationaal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 13:39

Ik stuit op het volgende bij de uitleg van een bewijs:

We weten dat tussen elk paar reŽle getallen die niet aan elkaar gelijk zijn een rationaal getal
ligt.

Maar hoe kunnen we dit dan bewijzen. Ik weet dat je dan moet bewijzen dat wanneer x,y elementen van ;) zijn, en q een element van ](*,) is, dat het volgende dan geldt:

x<q<y

maar hoe bewijs je dit? Ik vind het namelijk wel leuk dat ze zeggen dat het zo is, maar er is nergens een bewijs te vinden dat het ook daadwerkelijk zo is.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 17:13

Ik stuit op het volgende bij de uitleg van een bewijs:

We weten dat tussen elk paar reŽle getallen die niet aan elkaar gelijk zijn een rationaal getal
ligt.

Maar hoe kunnen we dit dan bewijzen.


Met reeel getal bedoel je waarschijnlijk een irrationaal getal.

Misschien kan je je de volgende redenering veralgemenen
sqrt(101) = 10.04987....
sqrt(102) = 10.0995...
Dit zijn twee irrationale getallen.
Er is altijd een decimale plaats te vinden waar het eerste en tweede getal een verschil vertoont.
Hier is dit bij de 4 en 9 honderdsten.
Je kan dan een breuk maken welke er tussen ligt. in het voorbeeld 10.06

Probeer deze redenering algemeen te formuleren zodat je een algemeen bewijs hebt.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 18:13

Met reeel getal bedoel je waarschijnlijk een irrationaal getal.

Misschien kan je je de volgende redenering veralgemenen
sqrt(101) = 10.04987....
sqrt(102) = 10.0995...
Dit zijn twee irrationale getallen.
Er is altijd een decimale plaats te vinden waar het eerste en tweede getal een verschil vertoont.
Hier is dit bij de 4 en 9 honderdsten.
Je kan dan een breuk maken welke er tussen ligt. in het voorbeeld 10.06

Probeer deze redenering algemeen te formuleren zodat je een algemeen bewijs hebt.


Zo iets als dit had ik inderdaad ook al bedacht alleen kom ik niet uit het algemeniseren omdat ik niet weet waar ik moet beginnen.

#4


  • Gast

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 21:10

Ik had dezelfde gedachtengang, maar kom er zo niet uit.
Het lukt wel als je net boven een getal zit met eindig veel decimalen, maar niet als je er net onder zit.

Tussen 1 en 1,13274.. kan ik zeggen dat er een getal is dat ertussen ligt, want dat is gewoon 1,05.
Uitgebreid voor het willlekeurig geval, als de Mde decimaal verschilt, dan is y-x>1/2. 10^-M. Dus

LaTeX

maar zoals gezegd is dat maar de helft van het 'bewijs'. Want als ik de getallen 0,99999999..... (een reeel getal met oneindig veel negens) en 1 neem, zie ik geen tussenliggend getal.

Als ik aanneem dat er voor elk reeel getal een getallenstelsel is, waarin de representatie eindig is, lukt het wel.
Ik zou zelfs kunnen zeggen, dat ik het x-tallig stelsel introduceer, dat het getal x (het kleinste reeele getal) als basis heeft. Het getal y wordt dan weergegeven als abc,defg... zodat

LaTeX

Omdat y>x moet er een M zijn waarvoor het Mde getal van de representatie van y in het x-tallig stelsel verschilt van 0, en dan is het bovenstaande weer van toepassing.

Veranderd door bessie, 02 oktober 2010 - 21:12


#5

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2010 - 21:21

maar zoals gezegd is dat maar de helft van het 'bewijs'. Want als ik de getallen 0,99999999..... (een reeel getal met oneindig veel negens) en 1 neem, zie ik geen tussenliggend getal.

Dat komt dan ook omdat 0,9999999...=1

Zoek je een concrete formule voor het rationale getal? Want in principe is de constuctie van Fernand een bewijs.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#6

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 08:47

Dat komt dan ook omdat 0,9999999...=1

Zoek je een concrete formule voor het rationale getal? Want in principe is de constuctie van Fernand een bewijs.


Ik zoek het bewijs ervan.

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 09:27

Hier even een ander spoor om je op weg te helpen:

Bekijk eens het getal LaTeX , dat is een natuurlijk getal zodanig dat x en y meer dan 1/k uit elkaar liggen (als x en y weinig verschillen is k heel groot).

Als je dit even op een denkbeeldige getallenlijn uitzet:
Geplaatste afbeelding

Bekijk nu eens de getallen n/k voor LaTeX (dat zijn uiteraard rationale getallen), deze liggen als volgt rond x en y:
Geplaatste afbeelding

Enig idee nu?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 09:40

Hier even een ander spoor om je op weg te helpen:

Bekijk eens het getal LaTeX

, dat is een natuurlijk getal zodanig dat x en y meer dan 1/k uit elkaar liggen (als x en y weinig verschillen is k heel groot).

Als je dit even op een denkbeeldige getallenlijn uitzet:
Geplaatste afbeelding

Bekijk nu eens de getallen n/k voor LaTeX (dat zijn uiteraard rationale getallen), deze liggen als volgt rond x en y:
Geplaatste afbeelding

Enig idee nu?


Waarom geldt x-y>1/k? is dat omdat je dat zo gemaakt hebt in die regel daarvoor?
Dat laatste stukje snap ik ook nog niet helemaal, waarom die getallen op die manier rond x en y liggen, hoe kom je daaraan?

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 09:50

Waarom geldt x-y>1/k? is dat omdat je dat zo gemaakt hebt in die regel daarvoor?

Nou eigenlijk y-x > 1/k (want y>x, niet andersom), maar inderdaad, zie definitie van k.

Bijvoorbeeld: als x en y bijna 1/10 verschillen (maar meer dan 1/11), wat is dan k?

Dat laatste stukje snap ik ook nog niet helemaal, waarom die getallen op die manier rond x en y liggen, hoe kom je daaraan?

De getallen n/k liggen natuurlijk regelmatig verdeeld op de reŽle getallenlijn met vaste stapjes ter grootte van 1/k.

Aangezien y-x > 1-k past er meer dan ťťn zo'n stapje tussen x en y in. Of anders gezegd er ligt in ieder geval ťťn heel stukje 1/k tussen x en y.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:09

Nou eigenlijk y-x > 1/k (want y>x, niet andersom), maar inderdaad, zie definitie van k.

Bijvoorbeeld: als x en y bijna 1/10 verschillen (maar meer dan 1/11), wat is dan k?


Sorry verkeerd om gezet, ondanks dat ik nog had gekeken of ik het in de goede volgorde had gezet.
Als ze bijna 1/10 verschillen,dan is k bijna 11 maar kleiner dan 12 toch?

De getallen n/k liggen natuurlijk regelmatig verdeeld op de reŽle getallenlijn met vaste stapjes ter grootte van 1/k.

Aangezien y-x > 1-k past er meer dan ťťn zo'n stapje tussen x en y in. Of anders gezegd er ligt in ieder geval ťťn heel stukje 1/k tussen x en y.


Je bedoeld toch: Aangezien y-x>1/k past.....
Het maakt dus inwezen niet uit waar je x en y plaatst zolang je maar y>x neemt en een afstand tussen die twee neemt die groter is dan 1/k. Ik wil even zeker zijn dat ik het begrijp, vandaar dat ik het even herhaal.

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:30

Sorry verkeerd om gezet, ondanks dat ik nog had gekeken of ik het in de goede volgorde had gezet.
Als ze bijna 1/10 verschillen,dan is k bijna 11 maar kleiner dan 12 toch?

Die haken in de definitie van k is de Entier-functie. Die rondt reŽle getallen af naar beneden.

Dus als y-x bijna 1/10 is (maar meer dan 1/11), is 1/(y-x) ruim 10 (maar minder dan 11), dus LaTeX is exact 10, dus k is exact 11.

Je bedoeld toch: Aangezien y-x>1/k past.....

(eh sorry, 1/k ja)

Het maakt dus inwezen niet uit waar je x en y plaatst zolang je maar y>x neemt

Ja, dat x kleiner is dan y begreep ik uit je OP (daar stond het gezochte getal q als x<q<y) (en anders zou je iets met 1/|x-y| kunnen doen ofzo) maar inderdaad, het doet er verder niet toe waar of hoe dichtbij of hoe ver x en y van elkaar liggen.

en een afstand tussen die twee neemt die groter is dan 1/k. Ik wil even zeker zijn dat ik het begrijp, vandaar dat ik het even herhaal.

Juist, die 1/k is zodanig geconstrueerd dat het een rationaal getal is wat kleiner is dan y-x.

Nu nog een rationaal getal maken dat tussen x en y in ligt (dat kan makkelijk met behulp van k).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 10:51

Die haken in de definitie van k is de Entier-functie. Die rondt reŽle getallen af naar beneden.

Die haken kende ik nog niet.

Dus als y-x bijna 1/10 is (maar meer dan 1/11), is 1/(y-x) ruim 10 (maar minder dan 11), dus LaTeX

is exact 10, dus k is exact 11.

Ik zie nog niet helemaal hoe dit kan helpen.

(eh sorry, 1/k ja)

een foutje is zo gemaakt ](*,)

Ja, dat x kleiner is dan y begreep ik uit je OP (daar stond het gezochte getal q als x<q<y) (en anders zou je iets met 1/|x-y| kunnen doen ofzo) maar inderdaad, het doet er verder niet toe waar of hoe dichtbij of hoe ver x en y van elkaar liggen.
Juist, die 1/k is zodanig geconstrueerd dat het een rationaal getal is wat kleiner is dan y-x.

Dat klopt dat x kleiner is dan y zo was het inderdaad gegeven.

Nu nog een rationaal getal maken dat tussen x en y in ligt (dat kan makkelijk met behulp van k).

Ik zie nog niet in hoe ik dit kan doen.

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 11:32

Ik zie nog niet in hoe ik dit kan doen.

Kijk nog eens naar de getallenlijn, en de veelvouden van 1/k die daar liggen:

Geplaatste afbeelding

We noemen n/k het 1/k-stapje dat net voor x ligt (of wat precies x is, wat zou kunnen als x toevallig een 1/k-veelvoud is). Als je n kunt bepalen, dan ben je er, want (n+1)/k is dan een geschikt getal q.

Welnu, x is een bepaald aantal keer 1/k. Hoe vaak? Nou, een geheel aantal keer plus een beetje (dat is altijd zo). Dat geheel aantal keer is hier n, zie je dat? Kun je n uitdrukken in x en k? (denk aan de entier-functie)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

Lauwratjuh

    Lauwratjuh


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 12:06

Kijk nog eens naar de getallenlijn, en de veelvouden van 1/k die daar liggen:

Geplaatste afbeelding

We noemen n/k het 1/k-stapje dat net voor x ligt (of wat precies x is, wat zou kunnen als x toevallig een 1/k-veelvoud is). Als je n kunt bepalen, dan ben je er, want (n+1)/k is dan een geschikt getal q.

Welnu, x is een bepaald aantal keer 1/k. Hoe vaak? Nou, een geheel aantal keer plus een beetje (dat is altijd zo). Dat geheel aantal keer is hier n, zie je dat?

Tot hier snap ik hem nog.

Kun je n uitdrukken in x en k? (denk aan de entier-functie)

Maar je weet toch niet wat x precies is doordat het n/k+iets is. Of heb je hiervoor dan de entier-functie nodig om dat iets te bepalen?

#15

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 15:56

Er zijn verschillende manieren om die eigenschap te bewijzen. Je kan ook steunen op de eigenschappen van Reele Getallen.
Ik gebruikte een handboek waar het bewijs in de theorie stond uitgewerkt.
Als je het zou willen zien kan je altijd bij google: Studiepakket 5, Analyse I intypen en zoeken met google naar boeken.
In dat handboek staat het bewijs uitgewerkt op blz. 20: Q is dicht in R.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures