Springen naar inhoud

Convergent?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 17:25

Laat zien dat deze reeks convergeert :

[1]LaTeX

Ik dacht aan de volgende tactiek, zoek een reeks die groter is dan bovenstaande, maar ook convergeert (een convergente majorante)

iets in de trend van :

[2]LaTeX

want, voor alle n geldt dat :

LaTeX

Het probleem dan is, hoe toon ik aan dat bovenstaande reeks [2] convergeert, met het cauchy criterium (an+1/an) wordt het lastig want dan krijg je weer 1. (en dan kun je niks zeggen)

iemand een mooi idee?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 19:41

Ken je volgend criterium?
als LaTeX en LaTeX is convergent, dan is ook LaTeX convergent.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 20:56

Aah, dan is 'ie makkelijk!

In mijn boek staat :

Als er een convergerende reeks bestaat LaTeX met LaTeX zodat LaTeX eindig is, dan convergeert LaTeX

In dezen hoeft limiet dus niet 0 te zijn, toch?

Veranderd door trokkitrooi, 03 oktober 2010 - 20:56


#4

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 21:04

Je hebt een eigenschap waarbij de limiet eindig mag zijn, maar niet nul. En dan heb je dat beide reeksen tezelfdertijd divergent zijn of beide convergent.
Is de limiet 0 of oneindig is de eigenschap iets zwakker:
Als de limiet gelijk is aan 0, dan convergeert de teller als de noemer convergeert.
Als de limiet gelijk is aan oneindig, dan vonvergeert de noemer als de teller convergeert.

Ik had nu toevallig een andere reeks genomen waarbij de limiet 0 is, dus heb ik de tweede eigenschap geplaatst. Maar de eerste is natuurlijk even goed.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 oktober 2010 - 21:17

iemand een mooi idee?

Op het eerste gezicht lijken ze allebei meetkundige reeksen.
Quitters never win and winners never quit.

#6

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 08:01

Op het eerste gezicht lijken ze allebei meetkundige reeksen.


okť, goed punt. maar n^2 = q ? en a_n = 1? Dan is die machtreeks niet convergent, toch..

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 11:22

Misschien kan je kijken naar de afgeleides van de meetkundige reeks.
Quitters never win and winners never quit.

#8

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 17:09

Nee, dat ''mogen'' we nog niet... Iemand nog een andere suggestie?](*,)

#9

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 18:03

Ik heb zelf een (vind ik zelf) slechte oplossing :

gedachtegang :

exponent groeit harder dan elk polynoom, dus uiteindelijk wordt de e-macht groter dan een gekozen polynoom. Kies het polynoom zo, dat je er zeker van bent dat het rechtlid (n^2 / ....) convergeert)

dus :

Via numerieke berekening weet ik dat:

LaTeX voor LaTeX

1/n^2 convergeert en de staart van mijn oorspronkelijke reeks is kleiner, dus de staart convergeert, maar dan convergeert de hele reeks, dus convergent..

Veranderd door trokkitrooi, 04 oktober 2010 - 18:06


#10

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 18:06

1/n≤ was ook de reeks waarmee je als limiet 0 krijgt met eerder genoemde eigenschap.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#11

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 19:33

1/n≤ was ook de reeks waarmee je als limiet 0 krijgt met eerder genoemde eigenschap.


Maar hoe moet ik dit nu zien? Omdat de limiet van 1/n^2 naar 0 gaat, convergeert ook de gehele reeks? (dat snap ik dan niet helemaal...)

Veranderd door trokkitrooi, 04 oktober 2010 - 19:34


#12

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 19:41

Neen, dit:

Ken je volgend criterium?
als LaTeX

en LaTeX is convergent, dan is ook LaTeX convergent.

met LaTeX en LaTeX

Je hebt hopelijk wel al gezien dat 1/n≤ convergeert (makkelijk na te gaan door integraalkenmerk)?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2010 - 20:29

Of schrijf n≤exp(-sqrt(n)) = n≤/exp(sqrt(n)) en ontwikkel de noemer een stuk als reeks; stop na voldoende termen zodat de reeks duidelijk convergent is; je hebt dan een convergente majorante.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures