Convergent?

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 03-10-'10, 18:25

lucca

Berichten: 758

Convergent?

Laat zien dat deze reeks convergeert :

[1]
\( \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \exp(- \sqrt{n}) \)
Ik dacht aan de volgende tactiek, zoek een reeks die groter is dan bovenstaande, maar ook convergeert (een convergente majorante)

iets in de trend van :

[2]
\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^{\sqrt{n}}} \)
want, voor alle n geldt dat :
\( \frac{n^2}{\exp{\sqrt{n}}} < \frac{n^2}{2^{\sqrt{n}}} \)
Het probleem dan is, hoe toon ik aan dat bovenstaande reeks [2] convergeert, met het cauchy criterium (an+1/an) wordt het lastig want dan krijg je weer 1. (en dan kun je niks zeggen)

iemand een mooi idee?
Omhoog

Bericht 03-10-'10, 20:41

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Convergent?

Ken je volgend criterium?

als
\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0\)
en
\(\sum b_n\)
is convergent, dan is ook
\(\sum a_n\)
convergent.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 03-10-'10, 21:56

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent?

Aah, dan is 'ie makkelijk!

In mijn boek staat :

Als er een convergerende reeks bestaat
\( \sum b_k \)
met
\( b_k >0 \)
zodat
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \)
eindig is, dan convergeert
\( \sum a_k \)
In dezen hoeft limiet dus niet 0 te zijn, toch?
Omhoog

Bericht 03-10-'10, 22:04

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Convergent?

Je hebt een eigenschap waarbij de limiet eindig mag zijn, maar niet nul. En dan heb je dat beide reeksen tezelfdertijd divergent zijn of beide convergent.

Is de limiet 0 of oneindig is de eigenschap iets zwakker:

Als de limiet gelijk is aan 0, dan convergeert de teller als de noemer convergeert.

Als de limiet gelijk is aan oneindig, dan vonvergeert de noemer als de teller convergeert.

Ik had nu toevallig een andere reeks genomen waarbij de limiet 0 is, dus heb ik de tweede eigenschap geplaatst. Maar de eerste is natuurlijk even goed.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 03-10-'10, 22:17

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Convergent?

iemand een mooi idee?
Op het eerste gezicht lijken ze allebei meetkundige reeksen.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 09:01

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent?

Op het eerste gezicht lijken ze allebei meetkundige reeksen.


oké, goed punt. maar n^2 = q ? en a_n = 1? Dan is die machtreeks niet convergent, toch..
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 12:22

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Convergent?

Misschien kan je kijken naar de afgeleides van de meetkundige reeks.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 18:09

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent?

Nee, dat ''mogen'' we nog niet... Iemand nog een andere suggestie? ](*,)
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 19:03

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent?

Ik heb zelf een (vind ik zelf) slechte oplossing :

gedachtegang :

exponent groeit harder dan elk polynoom, dus uiteindelijk wordt de e-macht groter dan een gekozen polynoom. Kies het polynoom zo, dat je er zeker van bent dat het rechtlid (n^2 / ....) convergeert)

dus :

Via numerieke berekening weet ik dat:
\( \frac{n^2}{\exp{\sqrt{n}}} \leq \frac{n^2}{n^4} \)
voor
\( n \geq 700 \)
1/n^2 convergeert en de staart van mijn oorspronkelijke reeks is kleiner, dus de staart convergeert, maar dan convergeert de hele reeks, dus convergent..
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 19:06

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Convergent?

1/n² was ook de reeks waarmee je als limiet 0 krijgt met eerder genoemde eigenschap.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 20:33

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent?

1/n² was ook de reeks waarmee je als limiet 0 krijgt met eerder genoemde eigenschap.


Maar hoe moet ik dit nu zien? Omdat de limiet van 1/n^2 naar 0 gaat, convergeert ook de gehele reeks? (dat snap ik dan niet helemaal...)
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 20:41

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Convergent?

Neen, dit:
ZVdP schreef:Ken je volgend criterium?

als
\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0\)
en
\(\sum b_n\)
is convergent, dan is ook
\(\sum a_n\)
convergent.
met
\(a_n=n^2exp(-\sqrt{x})\)
en
\(b_n=\frac{1}{n^2}\)


Je hebt hopelijk wel al gezien dat 1/n² convergeert (makkelijk na te gaan door integraalkenmerk)?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 04-10-'10, 21:29

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convergent?

Of schrijf n²exp(-sqrt(n)) = n²/exp(sqrt(n)) en ontwikkel de noemer een stuk als reeks; stop na voldoende termen zodat de reeks duidelijk convergent is; je hebt dan een convergente majorante.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”