Springen naar inhoud

Schuine asymptoten berekenen op het zicht mbv trucje


  • Log in om te kunnen reageren

#1

einsteinium

    einsteinium


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2010 - 15:14

Dag allemaal,

Gisteren vertelde onze leerkracht wiskunde dat hij met een eenvoudig trucje de asymptoten van een exponentiŽle of logaritmische functie kon zeggen. Ik heb al wat gegoogeld, maar niets gevonden.
Hij wou ons niet verklappen hoe hij het deed want toen hij deze oefeningen moest maken op school, kon hij ook niet gebruik maken van het trucje.
Volgens hem kan je dit zien door enkel naar het functievoorschrift te kijken...
Zo kon hij meteen zeggen dat de asymptoten van de functie ln(ex+1)+x-1 , y=x-1 en y=2x-1 zijn.
Wij moeten eerst nog de richtingscoŽfficiŽnt a en snijpunt met de y-as b berekenen met de formules a=lim(f(x)/x) en b=lim(f(x)-ax), wat soms nogal omslachtig is...

Weet iemand soms wat het trucje kan zijn (als het al bestaat, want waarom moeilijk doen als het gemakkelijk kan ;) Ik vind het ook al raar dat ik dit nergens op internet kan vinden!)?
Ik zal het uiteraard posten als hij het ons verklapt ](*,) !

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2010 - 15:49

de asymptoten van de functie ln(ex+1)+x-1 , y=x-1 en y=2x-1 zijn.

neem eerst dat x nadert tot +oneindig
dan is voor zeer grote x
ln(ex+1) praktisch gelijk aan ln ex = x
dan is y = ln(ex+1)+x-1 praktisch gelijk aan y = x+x-1 of y= 2x-1

neem nu dat x nadert tot -oneindig dan is
ex praktisch gelijk aan nul
dan is voor x naderend naar -oneindig
ln(ex+1) praktisch gelijk aan ln(1) = 0
dan is y = ln(ex+1)+x-1 praktisch gelijk aan y = 0 +x-1 of y = x-1
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2010 - 17:12

Dat truukje kan ook op asymptoten van irrationale functies toegepast worden.
Voorbeeld
asymptoten van

LaTeX
als x nadert tot + oneindig

De functie kan geschreven worden als

LaTeX

maar voor grote x-waarden is dat praktisch hetzelfde als

LaTeX

= LaTeX

Dus y = 1 is asymptoot

Je kan ook de asymptoot berekenen voor x naar -oneindig.

mooie oefening ...
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#4

einsteinium

    einsteinium


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 november 2010 - 20:52

Dit zijn nu nog vrij eenvoudige berekeningen van asymptoten. Maar het zou ook voor moeilijkere moeten lukken, en die kan je niet zomaar oplossen zoals u beschrijft...

Hij heeft ons verklapt dat de methode te vinden is in ťťn van de oude boeken van Delta... (die helaas niet meer op school aanwezig zijn...)
Heeft er soms niemand meer zo'n boek liggen?

Alvast bedankt voor de reactie!

#5

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 november 2010 - 21:49

Ik heb enkele jaren geleden nog boeken van Delta gebruikt maar ik heb ze niet meer.

Over welke functies gaat het ?
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#6

einsteinium

    einsteinium


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 17:11

Ik heb enkele jaren geleden nog boeken van Delta gebruikt maar ik heb ze niet meer.

Over welke functies gaat het ?


Zowel over exponentiŽle functies als irrationale functies.
Ik vroeg hem eens om de schuine asymptoot naar +oneindig te berekenen van de volgende irrationale functie:
6de machtswortel(5x^6-3x^5)

(6de machtswortel (...) betekent de 6de machtswortel nemen van wat er tussen de haakjes staat)
(^ betekent 'tot de')

Als antwoord vond hij binnen de minuut:
6de machtswortel (5) *x-1/(2 6de machtswortel(5^5))

Het is een beetje omslachtig om het zo te typen, maar ik ken geen LaTeX codes...

Het moet dus een heel eenvoudig regeltje zijn om zo de schuine asymptoten te berekenen, want hij kon het juiste antwoord in amper 20 seconden vinden!
Het zou ook voor exponentiŽle functies moeten werken.

Met het trucje van u kom ik niet tot deze oplossing.

Alvast bedankt!

#7

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 18:41

Laten we eens de asymptoten zoeken van LaTeX

Er moet dus een rechte van de vorm y = ax + b zo goed mogelijk passen bij die kromme

We proberen dus dat LaTeX zo goed mogelijk past bij LaTeX

Het is duidelijk dat a = 1

Dus moet LaTeX zo goed mogelijk past bij LaTeX

De eerste twee termen uit LaTeX zijn LaTeX

Dus moet 6b = 3/5 dus b = 1/10

Besluit : de schuine asymptoot van LaTeX is (x - 1/10)

Hieruit volgt
De schuine asymptoot van de opgave LaTeX is
LaTeX

Als je dat systeem wat inoefent gaat dat wel snel.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 november 2010 - 09:32

@TS
En waarom zou dit nu de schuine asymptoot zijn? dat is niet direct duidelijk.
Wat moet je dan aantonen?
En hoe zit het met x-> - oneindig?

Veranderd door Safe, 18 november 2010 - 09:33


#9

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 november 2010 - 11:56

@TS
En waarom zou dit nu de schuine asymptoot zijn? dat is niet direct duidelijk.
Wat moet je dan aantonen?
En hoe zit het met x-> - oneindig?


Het is een schuine asymptoot omdat de lim(functie-asymptoot) = 0 als x--> +oneindig

Voor (- oneindig) werkt deze snelle methode ook maar dan moet je wel weten
dat dan de positieve zesdemachtswortel uit x^6 gelijk is aan -x.
De schuine asympoot is dan in voorgaand voorbeeld LaTeX

Veranderd door Fernand, 18 november 2010 - 12:04

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 november 2010 - 11:58

Ik vroeg het aan de TS!
Maar dit is ook nog niet voldoende.

Veranderd door Safe, 18 november 2010 - 12:00






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures