Limiet2

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 758

Limiet2

Geef een definitie voor :
\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \)
(en onder welke voorwaarden op definitiegebied heeft het zin om de limiet bij min oneindig te definieren):

Ik dacht als volgt :
\( \forall \epsilon > 0 \exists M \in \nn , \forall x\leq M : \vert f(x) - L \vert < \epsilon \)
tevens, de voorwaarde lijkt me, dat het definitiegebied D bestaat uit de reele getallen, toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet2

trokkitrooi schreef:Geef een definitie voor :
\( \forall \epsilon > 0 \exists M \in \nn , \forall x\leq M : \vert f(x) - L \vert < \epsilon \)
Ik denk dat er moet staan
\( \forall \epsilon > 0 \; \exists M \in \nn , \forall x\leq - M : \vert f(x) - L \vert < \epsilon \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Berichten: 758

Re: Limiet2

Fernand schreef:Ik denk dat er moet staan
\( \forall \epsilon > 0 \; \exists M \in \nn , \forall x\leq - M : \vert f(x) - L \vert < \epsilon \)
Zeker, of gewoon m<0 dankje,

maar ben je het eens het antwoord over het definitiegebied?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet2

Je kan die M ook gewoon in ;) nemen, geen (teken)probleem meer.

Het definitiegebied hoeft niet heel ](*,) te zijn, dat is 'strenger dan nodig'. Waar moet de functie minstens bestaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Limiet2

\( x \leq 0 , met x \in \rr \)
toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet2

Misschien bedoel je het goed, maar ik vind het niet heel duidelijk omschreven... Het definitiegebied moet een halfrechte bevatten die zich uitstrekt tot -∞; met andere woorden moeten er een M in ](*,) bestaat zodat ]-∞,M[ een deelverzameling is van het domein.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet2

Ik denk,wat definitiegebied betreft, dat moet geeist worden dat er een groot positief getal G

moet bestaan waarvoor geldt :

f(x) is gedefinieerd voor alle x < -G
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet2

Fernand schreef:Ik denk,wat definitiegebied betreft, dat moet geeist worden dat er een groot positief getal G

moet bestaan waarvoor geldt :

f(x) is gedefinieerd voor alle x < -G
Het idee is goed, al hoeft dat helemaal geen "groot" getal te zijn - wat is overigens "groot"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet2

Het idee is goed, al hoeft dat helemaal geen "groot" getal te zijn - wat is overigens "groot"?


akkoord ; dat woord is overbodig.

Dat was meer visualisatie dan wiskunde.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet2

Als je wil oefenen, trokkitrooi, kan je bijvoorbeeld een definitie proberen op te stellen voor:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \)
Zo kan je natuurlijk zelf varianten verzinnen: naar een reëel getal resp. oneindig geeft een reëel getal resp. oneindig; met dan telkens nog + of - oneindig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Limiet2

Nou, daar kom 'ie dan :

[1]
\( \lim_{k \to - \infty} f(x) = L \)
\( \forall \epsilon >0 , \exists M \in \rr , \forall x \leq M : \vert f(x) - L \vert < \epsilon \)
[2]
\( \lim_{k \to - \infty} f(x) = \infty \)
\( \forall L \in \rr , \exists \epsilon >0 , \forall M \in \rr , \exists x \leq M : \vert f(x) - L \vert \geq \epsilon \)
[3]
\( \lim_{k \to - \infty} f(x) = - \infty\ \)
\( \forall L \in \rr , \exists \epsilon >0 , \forall M \in \rr , \exists x \leq M : \vert f(x) - L \vert \geq \epsilon \)
Wat valt dus op, de 2de en 3de zijn gelijk, je kunt ze wat aanscherpen door M>0 en M<0 te kiezen, maar dat maakt niet zo heel veel uit, toch? Bovendien, kloppen ze? ](*,)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet2

Wat doet die L daar? Wat is L in gevallen 2 en 3...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 758

Re: Limiet2

Ik heb het even aangepast, L mag alles zijn, want voor elke L moet het verschil groter zijn dan epsilon, want dan is het oneindig!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet2

Zo wordt het toch ingewikkelder dan nodig, je hebt geen L én epsilon nodig. In woorden (voor 2x +oneindig) : een functie heeft limiet oneindig voor x naar oneindig, als f(x) willekeurig groot wordt door x voldoende groot te nemen. Ben je het daarmee eens? Kan je dat 'vertalen' naar symbolen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet2

waarom staat er een k telkens in
\( \lim_{k \to - \infty} \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Reageer