Springen naar inhoud

Ontbinden in factoren van een meerdere-graadsvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Geertcaesar

    Geertcaesar


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2010 - 22:24

Ik heb een vraag ivm een tussenstap in mijn curcus wiskunde:

Voor het bepalen van de wortels van meerderegraadsvergelijkingen in het domein van de complexe getallen is het vaak nodig om deze vergelijking te schrijven als een product van lagere-graads vergelijkingen.

Als voorbeeldoefening in mijn curcus werd er gevraagd om de wortels van de volgende 12-de graadsvergelijking te bepalen:

x^12 -1 = 0

In mijn curcus werden eventuele tussenstappen overgeslaan en werd deze vergelijking ontbonden in:

(x-1)(x+1)(x-((3)^(1/2))x+1)(x-x+1)(x+1)(x+x+1)(x-((3)^1/2)x+1)=0

Mijn excuses voor de soms onduidelijke notering, maar ik weet niet hoe in vierkantswortels anders moet schrijven dan als x^1/2.

Het is geen dringende vraag, maar ik zou bijzonder dankbaar zijn moest iemand van jullie mij de uitleg kunnen geven hoe ik dergelijke hogere-graadsvergelijkingen kan ontbinden, zodat ik dit zelf kan voor andere hogere-graadvergelijkingen!

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2010 - 22:31

Ben je bekend met merkwaardige producten zoals LaTeX en LaTeX ?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

Geertcaesar

    Geertcaesar


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2010 - 22:52

Ja de merkwaardige producten zijn geen probleem, maar ik moet de vergelijking zodanig ontbinden dat ik 12 mogelijke oplossingen heb voor x om de vergelijking nul te laten bekomen.

Het probleem is dat dit ook zou moeten lukken bij een 14de graads vergelijking of dergelijk, want volgens de wet van D'Alembert heeft iedere n-de graadsvergelijking n oplossingen (in het domein van de complexe getallen).

Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.

Alvast bedankt voor de snelle reply!

Veranderd door Geertcaesar, 06 oktober 2010 - 22:58


#4

Berrius

    Berrius


  • >25 berichten
  • 74 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 00:53

Ja de merkwaardige producten zijn geen probleem, maar ik moet de vergelijking zodanig ontbinden dat ik 12 mogelijke oplossingen heb voor x om de vergelijking nul te laten bekomen.

Het probleem is dat dit ook zou moeten lukken bij een 14de graads vergelijking of dergelijk, want volgens de wet van D'Alembert heeft iedere n-de graadsvergelijking n oplossingen (in het domein van de complexe getallen).

Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.

Alvast bedankt voor de snelle reply!

Ontbinden is in het geval van LaTeX niet eens nodig. Je kunt het getal 1 als complexe e-macht schrijven. (formule van Euler) Je bekomt dan dus de vergelijking LaTeX Dus z = ...

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 08:25

LaTeX

Hier zit een tekenfoutje in, het moet zijn:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 11:50

Indien in bevoorbeeld zou ontbinden in (x^6 +1)*(x^6 -1) = x^12 - 1 , dan heb ik nog steeds de oplossing niet. Ik moet de vergelijking zodanig ontbinden zodat een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen bekom. Die eerste en tweedegraadsvergelijkingen moeten van elkaar verschillen zodanig dat ik 12verschillende nulwaarden(wortels) bekom.

LaTeX klopt, maar je kan nog verder gaan, je kan beide factoren nog verder ontbinden mbv de formules die hierboven (post TD) gegeven zijn, dan ben je al een stap verder, tenslotte moet je dan overgaan naar LaTeX , waar LaTeX
Kom je nu al wat verder?
---WAF!---

#7

Geertcaesar

    Geertcaesar


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 13:24

LaTeX

klopt, maar je kan nog verder gaan, je kan beide factoren nog verder ontbinden mbv de formules die hierboven (post TD) gegeven zijn, dan ben je al een stap verder, tenslotte moet je dan overgaan naar LaTeX , waar LaTeX
Kom je nu al wat verder?


Dit verklaart een aantal stappen die gegeven zijn in de oplossing van de oefening. Maar ik snap niet hoe je kan ontbinden en de vierkantswortel van 3 kan bekomen?

#8

Geertcaesar

    Geertcaesar


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 13:39

Ontbinden is in het geval van LaTeX

niet eens nodig. Je kunt het getal 1 als complexe e-macht schrijven. (formule van Euler) Je bekomt dan dus de vergelijking LaTeX Dus z = ...


Ja er zijn inderdaad meerdere mogelijkheden om de wortels van de vergelijking te zoeken. Zelf doe ik het door het te schrijven als z= 1^(1/12) = 1^+(1/12)*(cos((0+2kpi)/12)+isin((0+2kpi)/12)) | waarbij k (0,1,2,.....,11)

De oefening oplossen is geen probleem, ik vroeg mij gewoon af hoe je op zicht kan zien hoe je een bepaalde vergelijking moet ontbinden zodat je voor iedere deelvergelijking verschillende wortels bekomt, en het aantal wortels gelijk is aan de graad van de vergelijking.

#9

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 13:50

Ergens in je ontbinding kom je onderandere LaTeX tegen. Hierin substitueer je LaTeX zodat je een vierkantsvergelijking in y krijgt, die je kan oplossen met de discriminantmethode. Hier is LaTeX zodat LaTeX . Daarvan komt die LaTeX . Je mag natuurlijk niet vergeten in je ontbinding y terug te substitueren naar LaTeX , en dan je weer wat verder ontbinden. En zo blijf je maar doorgaan tot je de 12 factoren hebt...
---WAF!---

#10

Geertcaesar

    Geertcaesar


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2010 - 14:24

Ah inderdaad zo ver had ik nog niet gedacht... Bedankt !!!

Veranderd door Geertcaesar, 07 oktober 2010 - 14:26






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures