Limiet3

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 758

Limiet3

zij p een willekeurig polynoom, laat zien :
\( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{\exp(x)} \)
bewijs :
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k = a_0 + a_1*x + .... + a_n x^n\)
dan :
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1*x + .... + a_n x^n}{x^{n+1}} \to 0 \)
nu bewijzen dat :
\( \exp(x) > x^{n+1} \)
voor een n*

Dan kun je zeggen dat de limiet ook naar 0 gaat. Snijdt dit hout?

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet3

toon eerst aan
\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{\exp(x)} \)
=0 voor elke k geheel getal

opmerking :

dit is geen polynoom
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Re: Limiet3

Fernand schreef:opmerking :

dit is geen polynoom
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \)
Waarom niet? Er staat in de opgave een willekeurig polynoom, dat hoeft dan toch geen eindig polynoom te zijn? Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet3

Waarom niet? Er staat in de opgave een willekeurig polynoom, dat hoeft dan toch geen eindig polynoom te zijn? Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?
Een polynoom heeft bij definitie een eindig aantal termen

Een oneindig voortlopende som heet een reeks

Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?

Dat is correct,

Als je dat inziet is de tussenstap die ik gaf niet maar nodig
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Berichten: 758

Re: Limiet3

Oké, typefout , en bovendien mag ik l'hopital niet toepassen.

polynoom is gedefinieerd als (een eindige reeks) :
\( \sum_{k=0}^n a_k n^k = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k \)
Maar dan kun je ook die reeks delen door
\( n^{k+1} \)
en vervolgens pak je de limiet
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k}^{n^{k+1}} \)
\( = \frac{a_0}{n^{k+1}} + \frac{a_1}{n^k} + .... + \frac{a_n}{n} \to 0 \)
De limiet gaat naar nul, dus :

als
\( \exp(x) > n^{k+1} \)
dan moet dat ook wel convergeren naar 0.

Maar zit ik nu wel op de goede weg? en hoe verder?

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet3

als
\( \exp(x) > n^{k+1} \)
dan moet dat ook wel convergeren naar 0.


Dat houdt geen steek met die x en n in dezelfde uitdrukking.

Die uitdrukking moet eerst zuiverder worden.

Wellicht alles met n

en dan n--> + oneindig

en dat proberen aan te tonen dat, voor elke vaste k, die ongelijkheid geldt
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet3

\( \sum_{k=0}^n a_k n^k = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k \)
dat ziet er ook zo slordig uit

de bedoeling is waarschijnlijk
\( \sum_{m=0}^k a_m n^m = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_kn^k \)
met vaste k
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Limiet3

trokkitrooi schreef:zij p een willekeurig polynoom, laat zien :
\( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{\exp(x)} \)
= 0
Dat heb je dan gewijzigd in

zij p een willekeurig polynoom in n en van graad k

Toon aan dat
\( \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\exp(n)} \)
= 0

Als je alles, rekening houdend met al hetgeen je nu weet , eens netjes opnieuw formuleert,

moet het lukken.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Reageer