Dan kun je zeggen dat de limiet ook naar 0 gaat. Snijdt dit hout?
Limiet3
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 758
Limiet3
zij p een willekeurig polynoom, laat zien :
Dan kun je zeggen dat de limiet ook naar 0 gaat. Snijdt dit hout?
\( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{\exp(x)} \)
bewijs :\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k = a_0 + a_1*x + .... + a_n x^n\)
dan :\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1*x + .... + a_n x^n}{x^{n+1}} \to 0 \)
nu bewijzen dat :\( \exp(x) > x^{n+1} \)
voor een n*Dan kun je zeggen dat de limiet ook naar 0 gaat. Snijdt dit hout?
- Berichten: 368
Re: Limiet3
toon eerst aan
opmerking :
dit is geen polynoom
\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{\exp(x)} \)
=0 voor elke k geheel getalopmerking :
dit is geen polynoom
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Re: Limiet3
Waarom niet? Er staat in de opgave een willekeurig polynoom, dat hoeft dan toch geen eindig polynoom te zijn? Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?Fernand schreef:opmerking :
dit is geen polynoom
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \)
- Berichten: 368
Re: Limiet3
Een polynoom heeft bij definitie een eindig aantal termenWaarom niet? Er staat in de opgave een willekeurig polynoom, dat hoeft dan toch geen eindig polynoom te zijn? Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?
Een oneindig voortlopende som heet een reeks
Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?
Dat is correct,
Als je dat inziet is de tussenstap die ik gaf niet maar nodig
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 758
Re: Limiet3
Oké, typefout , en bovendien mag ik l'hopital niet toepassen.
polynoom is gedefinieerd als (een eindige reeks) :
als
Maar zit ik nu wel op de goede weg? en hoe verder?
polynoom is gedefinieerd als (een eindige reeks) :
\( \sum_{k=0}^n a_k n^k = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k \)
Maar dan kun je ook die reeks delen door \( n^{k+1} \)
en vervolgens pak je de limiet\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k}^{n^{k+1}} \)
\( = \frac{a_0}{n^{k+1}} + \frac{a_1}{n^k} + .... + \frac{a_n}{n} \to 0 \)
De limiet gaat naar nul, dus :als
\( \exp(x) > n^{k+1} \)
dan moet dat ook wel convergeren naar 0.Maar zit ik nu wel op de goede weg? en hoe verder?
- Berichten: 368
Re: Limiet3
als\( \exp(x) > n^{k+1} \)dan moet dat ook wel convergeren naar 0.
Dat houdt geen steek met die x en n in dezelfde uitdrukking.
Die uitdrukking moet eerst zuiverder worden.
Wellicht alles met n
en dan n--> + oneindig
en dat proberen aan te tonen dat, voor elke vaste k, die ongelijkheid geldt
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
- Berichten: 368
Re: Limiet3
dat ziet er ook zo slordig uit\( \sum_{k=0}^n a_k n^k = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k \)
de bedoeling is waarschijnlijk
\( \sum_{m=0}^k a_m n^m = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_kn^k \)
met vaste kHet eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
- Berichten: 368
Re: Limiet3
Dat heb je dan gewijzigd introkkitrooi schreef:zij p een willekeurig polynoom, laat zien :
\( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{\exp(x)} \)= 0
zij p een willekeurig polynoom in n en van graad k
Toon aan dat
\( \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\exp(n)} \)
= 0Als je alles, rekening houdend met al hetgeen je nu weet , eens netjes opnieuw formuleert,
moet het lukken.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.