Pagina 1 van 1
Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 13:33
door lucca
zij p een willekeurig polynoom, laat zien :
\( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{\exp(x)} \)
bewijs :
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k = a_0 + a_1*x + .... + a_n x^n\)
dan :
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1*x + .... + a_n x^n}{x^{n+1}} \to 0 \)
nu bewijzen dat :
\( \exp(x) > x^{n+1} \)
voor een n*
Dan kun je zeggen dat de limiet ook naar 0 gaat. Snijdt dit hout?
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 14:48
door Fernand
toon eerst aan
\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{\exp(x)} \)
=0 voor elke k geheel getal
opmerking :
dit is geen polynoom
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \)
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 14:58
door bessie
Fernand schreef:opmerking :
dit is geen polynoom
\( p(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k \)
Waarom niet? Er staat in de opgave een willekeurig polynoom, dat hoeft dan toch geen eindig polynoom te zijn? Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 15:05
door Fernand
Waarom niet? Er staat in de opgave een willekeurig polynoom, dat hoeft dan toch geen eindig polynoom te zijn? Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?
Een polynoom heeft bij definitie een eindig aantal termen
Een oneindig voortlopende som heet een reeks
Voor een eindig polynoom is het wel erg makkelijk, gewoon n maal l'Hospital toch?
Dat is correct,
Als je dat inziet is de tussenstap die ik gaf niet maar nodig
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 17:46
door lucca
Oké, typefout , en bovendien mag ik l'hopital niet toepassen.
polynoom is gedefinieerd als (een eindige reeks) :
\( \sum_{k=0}^n a_k n^k = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k \)
Maar dan kun je ook die reeks delen door
\( n^{k+1} \)
en vervolgens pak je de limiet
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k}^{n^{k+1}} \)
\( = \frac{a_0}{n^{k+1}} + \frac{a_1}{n^k} + .... + \frac{a_n}{n} \to 0 \)
De limiet gaat naar nul, dus :
als
\( \exp(x) > n^{k+1} \)
dan moet dat ook wel convergeren naar 0.
Maar zit ik nu wel op de goede weg? en hoe verder?
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 18:02
door Fernand
als
\( \exp(x) > n^{k+1} \)
dan moet dat ook wel convergeren naar 0.
Dat houdt geen steek met die x en n in dezelfde uitdrukking.
Die uitdrukking moet eerst zuiverder worden.
Wellicht alles met n
en dan n--> + oneindig
en dat proberen aan te tonen dat, voor elke vaste k, die ongelijkheid geldt
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 18:38
door Fernand
\( \sum_{k=0}^n a_k n^k = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_nn^k \)
dat ziet er ook zo slordig uit
de bedoeling is waarschijnlijk
\( \sum_{m=0}^k a_m n^m = a_0 + a_1n + a_2n^2 + ... + a_kn^k \)
met vaste k
Re: Limiet3
Geplaatst: vr 08 okt 2010, 18:45
door Fernand
trokkitrooi schreef:zij p een willekeurig polynoom, laat zien :
\( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{\exp(x)} \)
= 0
Dat heb je dan gewijzigd in
zij p een willekeurig polynoom in n en van graad k
Toon aan dat
\( \lim_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\exp(n)} \)
= 0
Als je alles, rekening houdend met al hetgeen je nu weet , eens netjes opnieuw formuleert,
moet het lukken.
