Springen naar inhoud

Cauchyrij


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 oktober 2010 - 20:05

Bewijs dat de rij A(n) Cauchy is als hij de volgende eigenschap heeft:

LaTeX met LaTeX

Definitie Cauchy:
Verborgen inhoud
A sequence of real numbers is called Cauchy, if for every positive real number epsilon, there is a positive integer N such that for all natural numbers m, n > N |x_m - x_n| < epsilon.


Mijn uitwerking:
Neem m,n>N dan volgt met m>n z.v.v.a.:

LaTeX

en hoe nu verder?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 oktober 2010 - 20:57

Bewijs dat de rij A(n) Cauchy is als hij de volgende eigenschap heeft:

LaTeX

met LaTeX

Mijn uitwerking:
Neem m,n>N dan volgt met m>n z.v.v.a.:

LaTeX

en hoe nu verder?



----------------------------------------------

wat dacht je van

daar r tussen 0 en 1 ligt is LaTeX

Dus LaTeX

Dus LaTeX

en dan iets toepassen zoals je hierboven reeds geschreven hebt

Veranderd door Fernand, 08 oktober 2010 - 21:01

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 12:52

Ik denk dat ik het heb:

LaTeX

Kies LaTeX

Is dit correct?
Quitters never win and winners never quit.

#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 16:56

Ik denk dat ik het heb:

Kies LaTeX



Is dit correct?


Ik zie geen fout

mooi gevonden !

maar de voorwaarde voor cauchy rij zegt
met elke epsilon corresponeert een N zodat ...

Dus zou ik dat laatste anders formuleren :

Er is aangetoond dat voor elke epsilon een gepaste N = (1-r)/epsilon bestaat zodat ...
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#5

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 17:50

LaTeX


Het lijkt allemaal juist maar ik heb er een raar gevoel bij.
Bij de vroegere redeneringen die al gemaakt heb in die aard was de keuze van N niet willekeurig.
In dit probleem moet naar mijn gevoel N afhankelijk zijn van iets.
In in het bovenstaande kan die N op het einde van de uitdrukking hierboven willekeurig groot. gekozen worden.
Ik vind dat zo raar.
jawel
| A_m - A_n| < 1/(1-r)
en r is vast
en
| A_m - A_n| moet kleiner kunnen worden dan een willekeurige epsilon ( met m,n > N)
Ik zou intuitief zeggen dat die N dan niet willekeurig groot kan gekozen worden..

Ik weet dus niet met zekerheid of jouw redenering juist is. Maar ik vind geen fout.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#6

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 20:20

Ik zal tonen met een zeer eenvoudig gelijkaardig voorbeeld dat er toch ergens een fout moet zitten
in jouw redenering

Zij n een natuurlijk getal > 0

volgende uitspraak is waar
LaTeX

Ik bewijs die uitspraak met jouw methode

1/(n+3) < 1/2 < N/2

kies epsilon < N/2

Nu hebben we de indruk dat alles klopt.
Maar maken we de proef

neem bijvoorbeeld epsilon = 0.1
dan moet N > 2. 0.1
neem N= 3
dan zou het volgende moeten gelden

n>3 => 1/(n+3) < 0.1

en dat klopt niet !!!!
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#7

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 21:23

Na een beetje veel zoeken, denk ik een bewijs gevonden te hebben.
Graag je mening en opmerkingen erover

Opgave :
Als voor alle n

LaTeX met 0<r<1 ,

dan moet er voor elke epsilon moet een N bestaan zo dat

Voor alle m > n > N geldt |A_m - A_n| < epsilon (*)

Bewijs

----------------
Nu werd hierboven in een bericht reeds aangetoond dat

LaTeX

dus

LaTeX

LaTeX

LaTeX voor alle m > n

---------------------

We hernemen de uitdrukking (*) en vervangen ze voortdurend door een VOLDOENDE voorwaarde.
Let op de omgekeerde pijlen.

LaTeX

<=

LaTeX

<=

LaTeX

<=

LaTeX

<=

LaTeX

Kies nu een willekeurige LaTeX

en neem nu LaTeX

We zien nu dat N van n afhangt, en bovendien moet m> n

En nu zal

LaTeX

en we kunnen met de omgekeerde pijlen naar boven opklimmen.

en zal zeker voor alle epsilon een N bestaan zodat

LaTeX

Veranderd door Fernand, 09 oktober 2010 - 21:31

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#8

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 07:15

Ik denk dat ik het heb:

LaTeX



Kies LaTeX

Is dit correct?


na een nachtje slapen ...

Ik heb de fout nu toch gevonden denk ik

Bij bovenstaande keuze van epsilon hebben we
dan
LaTeX
en dan is
|A_m-A_n| NIET kleiner dan een willekeurig getal
maar dan is
|A_m-A_n| kleiner dan een groot getal 1/epsilon

en dat is niet de bedoeling

------------------------------------------

Ik denk wel dat mijn voorgaande bericht een goed bewijs bevat van het probleem
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 15:54

Bij bovenstaande keuze van epsilon hebben we
dan
LaTeX


en dan is
|A_m-A_n| NIET kleiner dan een willekeurig getal
maar dan is
|A_m-A_n| kleiner dan een groot getal 1/epsilon

Je hebt gelijk vermoed ik, je mag niet zomaar met N vermenigvuldigen. Jouw bewijs is inderdaad correct.
Quitters never win and winners never quit.

#10

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 16:03

Je hebt gelijk dan kies ik:

LaTeX


en dat gaat niet want epsilon moet je willekeurig klein kunnen kiezen en die keuze :
LaTeX
is naar beneden begrensd door 1/(1-r)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures