Springen naar inhoud

Verdichtingspunt eindige verzameling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 16:57

Laat zien :

als LaTeX eindig is dan heeft LaTeX geen verdichtingspunten.



bewijs

Veronderstel dat LaTeX wel een verdichtingspunt LaTeX heeft, dan geldt :

LaTeX

Maar A is eindig, dus A is gedefinieerd met LaTeX

Hieruit volgt, dat LaTeX

kies LaTeX rond om verdichtingspunt c.

Dan is er géén enkele waarde a, die minus het verdichtingspunt c kleiner is dan epsilon. Dus een tegenspraak.

Graag even reactie of dit kan!](*,)

Veranderd door trokkitrooi, 09 oktober 2010 - 16:59


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 oktober 2010 - 17:56

Hieruit volgt, dat LaTeX


Stel A = {1,8,10}

(10-8)/2 = 1, tenzij ik een subtiliteit in je bewijs mis voldoet het niet

Ik heb in mijn cursus Analyse de volgende stelling gezien die zowat het omgekeerde van de jouwe is:

Stelling: als a een verdichtingspunt is van V, dan bevat elke omgeving van a een oneindig aantal elementen van V.

Bewijs uit het ongerijmde (gaat aan de hand van de afstanden van de punten tot het verdichtingspunt):
Verborgen inhoud
onderstel een verzameling V met verdichtingspunt a
Onderstel een omgeving Oa van a met slechts een eindig aantal elementen xi (verschillend van a).
Stel ε = min{||xi - a||}

Dan zou de omgeving {x : ||x-a|| < ε} geen punten bevatten en dat is strijdig met de onderstelling dat a een verdichtingspunt zou zijn.

Dat impliceert dat elke verzameling met een verdichtingspunt oneindig is.

Veranderd door Xenion, 09 oktober 2010 - 17:59


#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 14:22

Klinkt goed, trouwens, je hebt wel een goed punt gevonden in mijn foutieve bewijs.

Wat probeerde ik te ''creeren" : een element dat niet in A zit, zodat ik een epsilon kan vinden waarvoor de veronderstelling van een verdichtingspunt niet voldoet.

Dus beetje idee : {1,2,3} dan 3-2/2 = 0.5 en voor die epsilon < 0.5 voldoet de stelling (van een verdichtingspunt) niet meer. want stel c = 3, dan is er geen enkel element dat er voorzorgt dat het verschil kleiner is dan 0.5 tegenspraak dus.

maaaar...hoe kan ik mijn bewijs nu het beste aanpassen.. ](*,)

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 14:52

Tip: neem eens de verzameling der afstanden LaTeX en bekijk LaTeX
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 19:44

Dankje, maar dan wordt het dus:

Laat zien : als LaTeX eindig is dan heeft LaTeX geen verdichtingspunten.


bewijs :

Veronderstel dat LaTeX wel een verdichtingspunt LaTeX heeft, dan geldt :


LaTeX


Verzameling A is eindig, dus gedefinieerd als : LaTeX

Veronderstel nieuwe verzameling LaTeX als volgt :

LaTeX met LaTeX


kies nu LaTeX

Maar dan is er een epsilon waarvoor de voorwaarde niet geldt, dus een tegenspraak.

Veranderd door trokkitrooi, 10 oktober 2010 - 19:45


#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 20:48

Ja inderdaad, dat komt op hetzelfde neer als het verborgen bewijs dat ik had gepost. Zo klopt je bewijs wel.

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 21:12

Een iets andere benadering zou nog kunnen zijn: aangezien A eindig is, kun je alle elementen van A ordenen, zodat

A={a1,a2,a3,...,an} met a1<a2<a3<...<an waarbij c=ai voor zekere i.

Neem dan LaTeX , of als i=1 of i=n, dan (a2-a1)/2 respectievelijk (an-an-1)/2.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 21:29

waarbij c=ai voor zekere i.


Een verdichtingspunt hoeft toch geen element te zijn van de verzameling?

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2010 - 21:50

Een verdichtingspunt hoeft toch geen element te zijn van de verzameling?

Oh nee! ;) Nou dan dezelfde epsilon-constructie maar toegepast op A∪{c}, die voldoet ook voor A ](*,)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2010 - 07:30

Erg bedankt allemaal!](*,)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures