Op 16 oktober schreef kasper90 :
Hoe zou je
\(lim_{x \rightarrow -1} (2 x^3 +x ) = -3 \)
kunnen bewijzen door alleen maar te steunen
op de
\(\epsilon - \delta \)
definitie van limiet.
Dit onderwerp is om één of andere reden stilgevallen zonder een wezenlijke stap naar een oplossing.
Het probleem liet mij echter niet los en ik heb in tussentijd verschillende pogingen ondernomen om
tot een behoorlijke resultaat te komen. Tenslotten denk ik dat het gelukt is.
Ik hoop dat geinteresseerden nazien of er geen redeneringsfouten voorkomen.
Als het correct is, vind ik het een interessante methode om gelijkaardige oefeningen op te lossen.
We moeten dus aantonen dat
\( \forall \epsilon \; \exists \delta : |x+1| < \delta \Rightarrow |f(x)+3| < \epsilon \)
\( \epsilon \)
en
\( \delta \)
zijn strikt positief.
(
\( 2x^3+x\)
is stijgend als som van twee stijgende functies )
We starten met een
\( \epsilon \)
omgeving van -3 op de y-as
Het doel is een
\(\delta \)
omgeving van -1 te vinden, op de x-as, zodat het beeld hiervan binnen die
\( \epsilon \)
omgeving valt.
Maak een figuur dat maakt alles duidelijker.
Er wordt niets tekort gedaan aan de oplossing door verder
\(\delta < 1 \)
te veronderstellen.
Eerste fase x > -1
-----------------------
Neem
\(x = -1 + \delta \)
We zoeken een
voldoende voorwaarde voor
\(\delta \)
zodat
\( -3 < f( -1 + \delta ) < -3 + \epsilon \)
<=>
\( 0 < f( -1 + \delta ) + 3 < \epsilon \)
en na uitwerking
<=>
\( 0 < 7 \delta - 6 \delta ^2 + 2 \delta ^3 < \epsilon \)
<=>
\( 0 < \delta( 7 - 6 \delta + 2 \delta ^2) < \epsilon \)
Daar de discriminant van de kwadratische factor < 0 is, is elke factor van het middenlid positief, dus
<=>
\( 7 \delta - 6 \delta ^2 + 2 \delta^3 < \epsilon \)
Daartoe is het voldoende dat
<=
\( 7 \delta+ 2 \delta^3 < \epsilon \)
Daar
\(\delta < 1\)
is
\(\delta ^3 < \delta \)
en is het dus voldoende dat
<=
\( 7 \delta + 2 \delta < \epsilon \)
<=>
\( \delta < \epsilon /9 \)
Besluit voor x > -1
Met elke
\( \epsilon\)
correspondeert een
\( \delta = \epsilon/9\)
zodat
\( |x+1| < \delta \Rightarrow |f(x)+3| < \epsilon \)
Tweede fase x < -1
----------------------
Neem
\( x = -1- \delta\)
We zoeken een
voldoende voorwaarde voor
\(\delta\)
zodat
\( -3 - \epsilon < f(-1 - \delta) < -3 \)
<=>
\( 0 < f(-1 - \delta) + 3 < \epsilon \)
na uitwerking
<=>
\( 0 < 2 \delta ^3 + 6 \delta ^2 + 7 \delta <\epsilon \)
<=>
\( 2 \delta ^3 + 6 \delta ^2 + 7 \delta <\epsilon \)
Daar delta < 1 geldt
\( \delta^3 < \delta \)
en
\( \delta ^2 < \delta \)
is het dus voldoende dat
<=
\( 2 \delta + 6 \delta + 7 \delta <\epsilon \)
<=>
\( 15 \delta <\epsilon \)
<=>
\( \delta <\epsilon / 15\)
Besluit voor x < -1
Met elke
\( \epsilon\)
correspondeert een
\( \delta = \epsilon/15 \)
zodat
\( |x+1| < \delta \Rightarrow |f(x)+3| < \epsilon \)
Algemeen besluit
------------------
Met elke
\( \epsilon\)
correspondeert een
\( \delta = \epsilon/15 \)
zodat
\( |x+1| < \delta \Rightarrow |f(x)+3| < \epsilon \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
.
