\( D \subset \rr \)
. Laat zien : Voor elke functie \( f : D \to \rr \)
geldt :\( \forall x,y \in D : \exists L >0 : \vert f(x) - f(y) \vert \leq L\vert x - y\vert \)
bewijs :Veronderstel
\( D \subset \rr \)
, kies \( x,y \in \rr \)
willekeurig, maar vast, dan :\( \vert f(x) - f(y) \vert = c \)
met \( c \in \rr \)
en tevens :\( \vert x -y \vert = d \)
met \( d \in \rr \)
Kies een \( L>0 \)
maar nog niet vastals
\( c \leq d \)
kies \( L = c \)
als \( c > d \)
kies \( L = \frac{d}{c} \)
Maar nu is er altijd een \( L \)
zodanig dat \( \vert f(x) - f(y) \vert \leq L \vert x -y \vert \)
Een vraagje, snijdt dit bewijs hout?
