Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

jppilot

Hallo allemaal.

Met wiskunde D zijn we bezig met modelleren, waaronder dus ook maximaliseer problemen zoals:

Voor irrigatie van bouwgronden worden goten gebruikt. Die goten worden gemaakt door een zinken plaat van 50 cm breed en 2,5 m lang in een bepaalde vorm te buigen. De dwarsdoorsnede kan een rechthoek zijn, een symmetrisch trapezium of een halve cirkel. De lengte van elk gootstuk is 2,5 m, de breedte wordt gebogen.

Welke vorm en afmetingen krijgt een goot die zoveel mogelijk water kan bevatten?

Zelf leek een ronde vorm mij het meest logisch.

Nu zat ik dus te denken: neem de cirkelsector van 50 cm. Je hebt nu dus een groot gedeelte van de cirkel over, dit gedeelte noem ik N.

Nu geldt dus:

2 pie r = omtrek

2 pie r = N + 50

pie r = 1/2 ( N + 50 )

r =( 1/2 (N + 50 )) / pie

de formule voor oppervlakte:

Opv = pie r^2

Opv = pie ( ( 1/2 (N + 50 )) / pie ) ^2

Nu dacht ik deze grafiek in de GR te plotten, echter kom ik uit op een N van -50 voor maximale oppervlakte...

Ook wel logisch natuurlijk als je de formule bekijkt. Echter, waar zit nu de fout? Moet ik misschien het gegeven 'graden' meenemen in de berekening?

Safe

N=-50 levert niet de max maar de min opp.

Wat bedoel je met een cirkelsector van 50, misschien bedoel je cirkelboog. Waarom neem je niet, zoals er staat, een halve cirkel als doorsnede. De straal van de cirkel ligt dan vast.

Laat ook je berekening zien.

aadkr

"De dwarsdoorsnede kan een symmetrisch trappezium zijn"

Nu heb ik hieraan zitten rekenen , maar ik kom er niet uit.

De dwarsdoorsnede van zo'n trappezium is volgens mij een functie van 2 variabelen.

De variabele x en een hoek (alfa).

Zo bekeken is het volume een funktie van 2 verschillende variabelen.

kotje

Ik weet dat als men een gegeven lengte,hier 50 cm, in de vorm van een cirkel(deel van een cirkel) plooit men de grootste oppervlakte krijgt. Kijk maar in de praktijk om water af te voeren is de doorsnede meestal een halve cirkel of een cirkel. Een bol heeft ook voor een gegeven oppervlakte de grootste inhoud (kwik- en waterdruppels). Hoe men dit bewijst is mij een raadsel. Ik meen toch dat dit hier een veralgemening is van de gestelde vraag.

bessie

Ik begrijp niet wat je met die N wilt. Als je de plaat van 50 cm buigt krijg je gewoon een goot met omtrek 50 cm. Deze heeft een oppervlak van

\(A=\pi r^2\)

met

\( r=50/2\pi\)

dus

A~200 cm2

bessie

Zie voor info over verhouding tussen oppervlak en omtrek ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrisch_quoti%C3%ABnt.

Het algebraische bewijs dat een cirkel deze eigenschappen heeft is ingewikkeld. Je berekent oppervlak en omtrek met

\(A=\int_{x0}^{x1}f(x)dx\)

en

\(O=\int_{x0}^{x1}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

met randvoorwaarden f(x0) en f(x1) gelijk aan nul.

Om het quotient A/O te maximaliseren is bij mijn weten een ingewikkelde optimalisatie-regel nodig die ik niet meer beheers. Ik heb het bewijs wel gezien Iemand?

aadkr

Omtrek goot=

\(0,5=\pi .r\)

Daar r nu brkend is en de lengte van de goot , is het volume direkt uit te rekenen.

bessie

bessie schreef:
\(A=\pi r^2\)
met

\( r=50/2\pi\)
dus

A~200 cm2

Sorry, je maakt de goot maar half-cirkelvormig dus wordt r=50/pi en dus A=pi.r^2/2=100 cm2.

Ik ga er van uit dat de lengte van de bedoelde goten, ze zijn immers voor een irrigatiekanaal, nog onbekend zijn. Ze worden opgebouwd uit een aantal als goot gebogen platen van 50 bij 250 cm. Het maximaliseren van de 'inhoud' van de goot komt dan neer op het maximaliseren van het oppervlak van de dwarsdoorsnede.

Safe

Na de veelheid van (goedbedoelde) aanwijzingen heeft de TS jppilot het kennelijk af laten weten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector

Re: Max oppervlak cirkel icm gegeven lengte cirkelsector