Springen naar inhoud

Formule voor priemgetallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 oktober 2010 - 20:13

Na het omsleutelen van de stelling van Wilson die stelt dat voor een priemgetal p geldt dat:

LaTeX

En het feit dat je de modulus functie ook kan schrijven als:

LaTeX

Kwam ik uit op deze hele mooie, regelmatige sinusfunctie die alleen geheeltallige nulpunten kent voor exact de priemgetallen:

LaTeX

Hierbij een stukje uit de grafiek:

Geplaatste afbeelding

De golflengte wordt steeds korter (ofwel de frequentie neemt toe) en kennelijk precies met een gelijkmatige factor die exact de priemgetallen als geheeltallig nulpunten oplevert (over alle andere integers worden zorgvuldig heengesprongen).

Vind het toch frappant dat zo'n functie bestaat en dat deze daarbij zo regelmatig is (of lijkt, ik heb geen bewijs). Nu nog een simpelere manier vinden om deze regelmatige sinus te beschrijven (het is namelijk nogal wat rekenwerk voor Maple bij de grotere getallen)...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 oktober 2010 - 21:14

Vind het toch frappant dat zo'n functie bestaat en dat deze daarbij zo regelmatig is (of lijkt, ik heb geen bewijs). Nu nog een simpelere manier vinden om deze regelmatige sinus te beschrijven (het is namelijk nogal wat rekenwerk voor Maple bij de grotere getallen)...

Coole functie inderdaad ;)

Misschien dat hij wat te vereenvoudigen valt:

LaTeX
LaTeX (Voor nulpunt maakt absolute waarde niet uit)
LaTeX (formules van Simpson)
LaTeX (vereenvoudigen)
LaTeX (die sinus maakt niet uit voor nulpunten)
LaTeX (heeft dezelfde nulpunten)

Spijtig dat een gamma-functie zo moeilijk te evalueren is.

Edit: dit doet me wat denken aan de Riemann-Zeta functie... met die +1/2 enzo
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 oktober 2010 - 21:15

Zeer interessant! Kan je die formule plaatsen onder de vorm van computer invoer voor maple of iets aanverwant?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#4

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 oktober 2010 - 22:15

De versimpeling door 317070 is inderdaad veel fraaier:

LaTeX

En levert inderdaad dezelfde nulpunten op (met een amplitude tussen -1 en 1). Wat heel verrassend is, is dat de grafiek gespiegeld lijkt in het gebied tussen 0 en 1. De grafiek wordt er op dezelfde wijze samengedrukt. Ik vermoed daarom een dat er een mogelijke "reflection formula" bestaat. Maar dan niet zozeer LaTeX maar iets als LaTeX

Heb ook even naar de eerste afgeleide gekeken (in de helaas ijdele hoop dat ik de Gamma functie zou kwijtraken...), maar er blijkt wel een omslag punt in de grafiek te zitten op de waarde LaTeX .

De afgeleide volgens Maple is:

LaTeX

Plaatje van beide grafieken (met Maple code erbij):

Geplaatste afbeelding

#5

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 oktober 2010 - 00:21

LaTeX

(heeft dezelfde nulpunten)

Ik ga er eens verder op gaan.
LaTeX
LaTeX oneven en natuurlijk(nulpunten cosinus)
LaTeX oneven en natuurlijk(enkel natuurlijke getallen zijn interessant)

Die oneven is een overbodige voorwaarde, want
stel:
((n-1)!+1)/n=2k
-> (n-1)! = 2kn-1 = oneven.
En m! is steeds even voor m>1, of hier n>2. Voor n<2 waren er geen oplossingen, en n=2 is oneven.

LaTeX natuurlijk
of
LaTeX
En dit is de formule van Wilson. Dit levert een rigoreus bewijs dat je formule klopt.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#6

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 oktober 2010 - 21:09

Coole functie inderdaad ;)

(...)

Edit: dit doet me wat denken aan de Riemann-Zeta functie... met die +1/2 enzo


LaTeX

Er lijken inderdaad parallellen te bestaan tussen beide functies. Zo kent de Zeta-functie triviale nulpunten (negatieve integers) en non-triviale nulpunten (op de lijn LaTeX ). Ook de P-functie heeft triviale oplossingen (integers die altijd priem zijn) en non-triviale nulpunten (alle non-integer oplossingen)

Er is natuurlijk een hele makkelijke manier of zowel de LaTeX kwijt te raken alswel een directe link naar de Zeta-functie te maken:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Nu ontstaat de interessante situatie waarin als je de gehele functie met LaTeX doorloopt, de distributie van alle priemgetallen bepaald wordt (alle geheeltallige nulpunten zijn immers priem). Tegelijkertijd zit er in de 'buik' van deze cosinus de Zeta-functie, die volgens de Riemann-hypothese enkel non-triviale nulpunten genereert voor complexe getallen op de lijn LaTeX . De oneindige som van deze non-triviale nulpunten vormt dan weer een belangrijke component in de priemtelfunctie en zegt daarmee dus ook iets over de distributie van priemgetallen.

Maar helaas...

...als we immers LaTeX de vorm LaTeX laten aannemen, dan geldt voor alle y dat:

LaTeX = 1

Daarmee verdwijnt dus de hele invloed van de non-triviale nulpunten van Zeta functie op de P-functie. Dat levert dus niks op.

Het enige dat je zou kunnen poneren, is dat de Zeta-functie ook in het niet complexe bereik informatie over de priemdistributie bevat (dat is eigenlijk precies wat de bovenstaande P-functie zegt na het omschrijven). Maar waarom die non-triviale nulpunten dan zodanig diep verbergen, dat ze geen helemaal geen invloed op het vinden van de volgende priem uitoefenen?

Waar zit dan die diepere connectie? Hij moet ergens in het analytisch continueren van de Zeta-functie zelf zitten.

Nog een andere poging om iets meer te vinden:

De cosinus functie wordt nul zodra LaTeX met LaTeX

LaTeX

Niet alle nulpunten van de P-functie zijn echter priem (een minderheid zelfs). Tussen 2 en 3 zitten geen andere (non-triviale) nulpunten, maar tussen bijvoorbeeld 3 en 5 zitten er al 25. Daarna wordt het al lastig tellen door de hoge dichtheid. Hoe filter je nu uit alle nulpunten diegene die geheeltallig (=priem) zijn? Geldt dit voor s = integer? Heeft het wellicht iets te maken met de LaTeX die integer wordt?

Veranderd door Agno, 20 oktober 2010 - 21:10


#7

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 oktober 2010 - 19:38

De functie:

LaTeX

ofwel:

LaTeX

heeft alleen geheeltallige nulpunten voor s = priem. Er bestaan echter ook een heleboel non-integer nulpunten tussen de geheeltallige priemwaarden (0, tussen 2 en 3; 1 tussen 4 en 5; 48 tussen 5 en 7; 164893 tussen 7 en 11; etc.).

De grap is natuurlijk dat de LaTeX altijd nul wordt zodra de (zeer snel) stijgende Gamma-functie zorgt dat LaTeX met LaTeX . De uitbreiding naar LaTeX levert dus niet echt veel op (had stiekem gehoopt op een patroon in de non-integer nulpunten, maar had natuurlijk kunnen weten dat deze de vorm van de priemgetallendistributie aanneemt).

Toch nog een laatste poging om de Gamma- en Zetafuncties beter te koppelen.

De nulpunten van de P-functie vind je dus zodra:

LaTeX

Na enige omsleuteling en het nemen van logaritme aan beide zijden ontstaat:

LaTeX

Maar we weten ook dat:

LaTeX

Dus geldt:

LaTeX

En dat is best merkwaardig aangezien de som (of Dirichlet serie) over alle priemgetallen tezamen met s = priem, bepaalt dat k een integer is. Je hebt dus in deze formule alle priemgetallen nodig om voor één priemgetal s te bepalen of deze priem is.



P.S. 1:
De waarde LaTeX moet als limiet berekend worden (anders delen we door nul voor LaTeX ).

P.S. 2:
Zonder de logaritmes komt er een soortgelijke conclusie uit aangezien: LaTeX





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures