Springen naar inhoud

Probleem berekenen generalized eigenvectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

beanbag

    beanbag


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 oktober 2010 - 13:00

Ik heb problemen met het vinden van de generalized eigenvectoren met het oog op het zoeken van een similarity transformatie in een Jordan Canonical form.

Ik zal mijn probleem tonen in een voorbeeld met een 3x3 matrix. Ik denk dat ik ergens fouten moet maken tegen basisnoties van de lineaire algebra...

Waar zit ik fout ?

LaTeX

Is volgens mij de definitie van een generalized eigenvector v van orde k.

Het Voorbeeld:

LaTeX

alle eigenwaarden zijn 1 met multipliciteit 3.

LaTeX
LaTeX
LaTeX

De gewone eigenvectoren (x,y,z) zoeken, deze voldoen aan:

LaTeX
LaTeX Ik kies LaTeX

Er zijn geen andere lineair onafhankelijke eigenvectoren die aan dit stelsel voldoen, dus kijken we naar de 2de orde

LaTeX dus alle vectoren LaTeX Ik kies LaTeX

Er zijn geen vectoren die aan dit stelsel voldoen die linear onafhankelijk zijn van de echte eigenvector en de vorige gevonden vector, dus we gaan naar orde 3

De nulmatrix. Dus elke vector voldoet hieraan. We kiezen LaTeX

We hebben dus de canonische basis in R3 gekozen als set van lineair onafhankelijke generalized eigenvectoren.

Dit betekent dat

LaTeX M is hier de identity matrix en een jordan canonical form heeft geen van nul verschillend element voor het element in kolom 3 en rij 1. MJinv(M) kan dus nooit A worden als M gelijk is aan de identity matrix.


Ergens in mijn berekeningen moet ik dus uitgegaan zijn van een foutieve definitie of fouten gemaakt hebben tegen basisprincipes van de lineaire algebra.

Waar ben ik de mist in gegaan ???


Alvast bedankt !

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2010 - 17:30

We hebben A en de drievoudige eigenwaarde 1.
De procedure is volgens mij als volgt.

Kies een vector w zo dat LaTeX niet nul is.
We kunnen dan eenvoudig kiezen LaTeX

Neem nu vector v zo dat LaTeX . Dan is LaTeX

Meem nu vector u zo dat LaTeX . Dan is LaTeX

Die vector u is de gewone eigenvector.
v en w zijn veralgemeende eigenvectoren.

De matrix M is opgebouwd met w,v en u.

LaTeX

LaTeX

en nu is inderdaad LaTeX
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

beanbag

    beanbag


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2010 - 18:00

Bedankt !

Dit lijkt me correct.

Maar misschien toch eerst controleren hoeveel lineair onafhankelijke eigenvectoren je kan vinden? Want een multipliciteit groter dan 1 houdt niet altijd in dat je geen twee lineair onafhankelijke eigenvectoren kunt vinden.

En dan beginnen met uw procedure.

#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2010 - 18:55

Bedankt !

Dit lijkt me correct.

Maar misschien toch eerst controleren hoeveel lineair onafhankelijke eigenvectoren je kan vinden? Want een multipliciteit groter dan 1 houdt niet altijd in dat je geen twee lineair onafhankelijke eigenvectoren kunt vinden.


In het voorgaande voorbeeld is de karakteristieke veelterm en de minimaalveelterm dezelfde.
Dit maakt het vrij eenvoudig.

Indien dit niet het geval is, is de procedure een stuk ingewikkelder.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures